log 3(x+2)+log 3(x-1)=2

Passo 1

Temos a equação log3(x+2)+log3(x-1)=2. O conteúdo é resolução de equação logarítmica envolvendo soma de logaritmos. Vamos precisar usar a propriedade de soma de logaritmos e impor as condições de existência.

Passo 2

Para os logaritmos estarem definidos, os argumentos devem ser positivos. Ou seja, x+2>0 e x-1>0. Dessas desigualdades vem x>-2 e x>1, então o domínio é x>1.

Passo 3

Usamos a propriedade de soma: loga u + loga v = loga(uv). Aplicando aqui: log3(x+2)+log3(x-1)=log3l((x+2)(x-1)r).
A equação vira log3l((x+2)(x-1)r)=2. Passando para forma exponencial, obtemos:
(x+2)(x-1)=3^2=9 Expandindo, dá x^2+x-2=9 e, assim, x^2+x-11=0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática por Bhaskara: x=-1pmraiz1+442=-1pmraiz452=-1pm3raiz52.

Passo 5

Agora testamos no domínio x>1: x=tfrac-1+3raiz52approx2,85>1 vale; x=tfrac-1-3raiz52<1 cai fora. Logo só aceitamos tfrac-1+3raiz52.

Resposta

x=dfrac-1+3raiz52

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