Derivar e Siuplificar
y=raiza-x+raiza+xraiza-x-raiza+x

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos derivar e simplificar a função:
y = raiza - x + raiza + xraiza - x - raiza + x
Para resolver isso, vamos usar regras de derivação básicas e álgebra para simplificar a expressão resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função $ y $ em relação a $ x $. Para isso, identificamos que $ y $ é uma função racional, ou seja, tem uma parte de cima (numerador) e uma parte de baixo (denominador).
A regra para derivar uma função do tipo $ \frac{u}{v} $ é:
y
onde $ u = \sqrt{a - x} + \sqrt{a + x} $ e $ v = \sqrt{a - x} - \sqrt{a + x} $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas $ u’ $ e $ v’ $.
Para $ u = \sqrt{a - x} + \sqrt{a + x} $:
u'
v'
Para $ v = \sqrt{a - x} - \sqrt{a + x} $:
u = raiza - x + raiza + x
u' = ddx raiza - x + ddx raiza + x

Passo 4

Substituímos $ u $, $ u’ $, $ v $ e $ v’ $ na fórmula da derivada:
u

Passo 5

Simplificamos o numerador. Vamos distribuir os termos:
Primeiro, multiplicamos $ \left( \frac{-1}{2\sqrt{a - x}} + \frac{1}{2\sqrt{a + x}} \right) $ por $ \sqrt{a - x} - \sqrt{a + x} $:
( -12raiza - x + 12raiza + x )
raiza - x - raiza + x
-12raiza - x cdot raiza - x = -12
-12raiza - x cdot (-raiza + x) = raiza + x2raiza - x
Então, a primeira parte do numerador fica:
12raiza + x cdot raiza - x = raiza - x2raiza + x
Agora, multiplicamos $ (\sqrt{a - x} + \sqrt{a + x}) $ por $ \left( \frac{-1}{2\sqrt{a - x}} - \frac{1}{2\sqrt{a + x}} \right) $:
12raiza + x cdot (-raiza + x) = -12
-12 + raiza + x2raiza - x + raiza - x2raiza + x - 12
(raiza - x + raiza + x)
( -12raiza - x - 12raiza + x )
Então, a segunda parte do numerador fica:
raiza - x cdot -12raiza - x = -12

Passo 6

Agora, juntamos todas as partes do numerador:
( -12 + raiza + x2raiza - x + raiza - x2raiza + x - 12 ) - ( -12 - raiza - x2raiza + x - raiza + x2raiza - x - 12 )
Simplificando:
-12 - 12 + raiza + x2raiza - x + raiza - x2raiza + x + 12 + raiza - x2raiza + x + raiza + x2raiza - x + 12
Os $ \frac{-1}{2} $ e $ \frac{1}{2} $ se cancelam, assim como os $ \frac{-1}{2} $ e $ \frac{1}{2} $.
Então, resta:
-12
12

Passo 7

Agora, simplificamos ainda mais a expressão. Observamos que:
raiza + xraiza - x + raiza - xraiza + x = a + x + a - xraiz(a - x)(a + x)
= 2araiza^2 - x^2

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na derivada:
y' = 2araiza^2 - x^2 div (raiza - x - raiza + x)^2
Para simplificar o denominador, usamos a identidade:
(raiza - x - raiza + x)^2 = (a - x) + (a + x) - 2raiz(a - x)(a + x)
= 2a - 2raiza^2 - x^2
= 2(a - raiza^2 - x^2)
Então:
y' = 2araiza^2 - x^2 div 2(a - raiza^2 - x^2)
= a(a - raiza^2 - x^2)raiza^2 - x^2

Resposta

A derivada simplificada da função é:
y' = a(a - raiza^2 - x^2) cdot raiza^2 - x^2

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