Derivar e Siuplificar
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Precisamos derivar e simplificar a função:
Para resolver isso, vamos usar regras de derivação básicas e álgebra para simplificar a expressão resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função $ y $ em relação a $ x $. Para isso, identificamos que $ y $ é uma função racional, ou seja, tem uma parte de cima (numerador) e uma parte de baixo (denominador).
A regra para derivar uma função do tipo $ \frac{u}{v} $ é:
onde $ u = \sqrt{a - x} + \sqrt{a + x} $ e $ v = \sqrt{a - x} - \sqrt{a + x} $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas $ u’ $ e $ v’ $.
Para $ u = \sqrt{a - x} + \sqrt{a + x} $:
Para $ v = \sqrt{a - x} - \sqrt{a + x} $:
Passo 4
Substituímos $ u $, $ u’ $, $ v $ e $ v’ $ na fórmula da derivada:
Passo 5
Simplificamos o numerador. Vamos distribuir os termos:
Primeiro, multiplicamos $ \left( \frac{-1}{2\sqrt{a - x}} + \frac{1}{2\sqrt{a + x}} \right) $ por $ \sqrt{a - x} - \sqrt{a + x} $:
Então, a primeira parte do numerador fica:
Agora, multiplicamos $ (\sqrt{a - x} + \sqrt{a + x}) $ por $ \left( \frac{-1}{2\sqrt{a - x}} - \frac{1}{2\sqrt{a + x}} \right) $:
Então, a segunda parte do numerador fica:
Passo 6
Agora, juntamos todas as partes do numerador:
Simplificando:
Os $ \frac{-1}{2} $ e $ \frac{1}{2} $ se cancelam, assim como os $ \frac{-1}{2} $ e $ \frac{1}{2} $.
Então, resta:
Passo 7
Agora, simplificamos ainda mais a expressão. Observamos que:
Passo 8
Finalmente, substituímos de volta na derivada:
Para simplificar o denominador, usamos a identidade:
Então:
Resposta
A derivada simplificada da função é: