log (x^2-1)=log (x+1)+log (x-1)

Passo 1

Na questão temos a equação de logaritmos log(x^2 - 1) = log(x+1) + log(x-1). O conteúdo aqui é propriedades de logaritmos, em especial a soma de log igual ao log do produto. Vamos precisar aplicar restrição de domínio e a identidade log A + log B = log(AB).

Passo 2

Primeiro vamos impor o domínio dos logaritmos: precisamos de x^2 - 1 > 0, x+1>0 e x-1>0. Da desigualdade x^2 -1 >0 vem x>1 ou x<-1, mas para log(x+1) e log(x-1) faz falta x>1. Assim o domínio é x>1.

Passo 3

Para x>1, note que x^2 - 1 = (x+1)(x-1). Então log(x^2 - 1) = logl((x+1)(x-1)r). Pela propriedade de logaritmos temos
logl((x+1)(x-1)r) = log(x+1) + log(x-1)

Passo 4

Como essa identidade é exatamente a equação original, a igualdade vale para todo x no domínio que encontramos, isto é, para todo x>1. Não há soluções adicionais fora desse intervalo.

Resposta

(1, \infty)

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