Derivar e Siuplificar
y=sen 2 x1+cos 2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar e simplificar a função $ y = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} $. Isso envolve conhecimento de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente para derivadas, e também trigonometria para simplificar a expressão final. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a regra do quociente e usar identidades trigonométricas para simplificar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função $ y = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} $ usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função $ y = \frac{u}{v} $, então a derivada $ y’ $ é dada por:
y = sin 2x1 + cos 2x
Aqui, $ u = \sin 2x $ e $ v = 1 + \cos 2x $. Vamos encontrar as derivadas de $ u $ e $ v $.

Passo 3

Calculando as derivadas:
u' = ddx (sin 2x) = 2 cos 2x
v' = ddx (1 + cos 2x) = -2 sin 2x
Agora, aplicamos a regra do quociente:
y' = (2 cos 2x)(1 + cos 2x) - (sin 2x)(-2 sin 2x)(1 + cos 2x)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
(2 cos 2x)(1 + cos 2x) = 2 cos 2x + 2 cos^2 2x
(sin 2x)(-2 sin 2x) = -2 sin^2 2x
Então, o numerador fica:
2 cos 2x + 2 cos^2 2x + 2 sin^2 2x

Passo 5

Agora, vamos lembrar que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $. Aplicando isso:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1
Portanto, o numerador simplificado é:
2 cos^2 2x + 2 sin^2 2x = 2 (cos^2 2x + sin^2 2x) = 2 times 1 = 2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
y' = 2 (1 + cos 2x)(1 + cos 2x)^2 = 21 + cos 2x

Passo 7

Finalmente, podemos simplificar ainda mais usando a identidade trigonométrica $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $:
1 + cos 2x = 2 cos^2 x

Resposta

A derivada simplificada de $ y = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} $ é $ y’ = \sec^2 x $.

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