Derivar e Siuplificar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar e simplificar a função $ y = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} $. Isso envolve conhecimento de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente para derivadas, e também trigonometria para simplificar a expressão final. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a regra do quociente e usar identidades trigonométricas para simplificar a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função $ y = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} $ usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função $ y = \frac{u}{v} $, então a derivada $ y’ $ é dada por:
Aqui, $ u = \sin 2x $ e $ v = 1 + \cos 2x $. Vamos encontrar as derivadas de $ u $ e $ v $.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:
Passo 5
Agora, vamos lembrar que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $. Aplicando isso:
Portanto, o numerador simplificado é:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 7
Finalmente, podemos simplificar ainda mais usando a identidade trigonométrica $ 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x $:
Resposta
A derivada simplificada de $ y = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} $ é $ y’ = \sec^2 x $.