Seja f:[0,1] times[0,2 pi] R^3 a função
f(u, v)=(u cos v, u sen v, u^2)
Mostre que a imagem de f descreve os pontos da superfície
K=(x, y, z) mid z=x^2+y^2, 0 <= z <= 1
e que
partial fpartial u times partial fpartial v=(0,0,0)
para um número finito de pontos em S=[0,1] times[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas coisas sobre a função f(u, v) = (u cos v, u sin v, u^2) definida no domínio [0,1] times [0,2pi]. Primeiro, precisamos provar que a imagem dessa função descreve todos os pontos da superfície K = (x, y, z) mid z = x^2 + y^2, 0 <= z <= 1. Depois, devemos mostrar que o produto vetorial das derivadas parciais de f em relação a u e v é igual a (0, 0, 0) para apenas um número finito de pontos em S = [0,1] times [0,2pi]. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo vetorial, como derivadas parciais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a imagem da função f. A imagem de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) que podemos obter substituindo valores de u e v na função. Então, queremos mostrar que todo ponto da superfície K pode ser obtido dessa forma.

Passo 3

Vamos começar relacionando as componentes de f(u, v) com as coordenadas (x, y, z):
x = u cos v, y = u sin v, z = u^2
Precisamos verificar se, para qualquer ponto (x, y, z) em K, existe um par (u, v) em S tal que essas igualdades sejam verdadeiras.

Passo 4

Sabemos que na superfície K, temos z = x^2 + y^2. Vamos substituir x e y pelas expressões dadas pela função f:
z = (u cos v)^2 + (u sin v)^2 = u^2 (cos^2 v + sin^2 v)
Usando a identidade trigonométrica cos^2 v + sin^2 v = 1, temos:
z = u^2 times 1 = u^2
Que é exatamente a terceira componente de f(u, v). Isso mostra que, para qualquer u e v, o ponto (x, y, z) gerado por f satisfaz a equação da superfície K.

Passo 5

Além disso, os valores de u e v estão restritos a u in [0,1] e v in [0,2pi]. Como z = u^2, isso implica que z varia de 0 a 1, o que está de acordo com a condição 0 <= z <= 1 da superfície K. Portanto, a imagem de f cobre exatamente todos os pontos de K dentro dessas restrições.

Passo 6

Agora, vamos passar para a segunda parte do exercício: mostrar que o produto vetorial das derivadas parciais de f em relação a u e v é igual a (0, 0, 0) para apenas um número finito de pontos em S.
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais partial fpartial u e partial fpartial v.

Passo 7

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial u = ( cos v, sin v, 2u )
partial fpartial v = ( -u sin v, u cos v, 0 )

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas:
partial fpartial u times partial fpartial v = i & j & k cos v & sin v & 2u - u sin v & u cos v & 0
Calculando o determinante:
i ( sin v cdot 0 - 2u cdot u cos v ) - j ( cos v cdot 0 - 2u cdot (-u sin v) ) + k ( cos v cdot u cos v - sin v cdot (-u sin v) )
Simplificando:
i (-2u^2 cos v) - j (2u^2 sin v) + k (u cos^2 v + u sin^2 v)
Usando novamente a identidade cos^2 v + sin^2 v = 1:
i (-2u^2 cos v) - j (2u^2 sin v) + k (u times 1)
Ou seja:
(-2u^2 cos v, -2u^2 sin v, u)

Passo 9

Queremos que esse vetor seja igual a (0, 0, 0):
-2u^2 cos v = 0, -2u^2 sin v = 0, u = 0
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 10

Da terceira equação, temos que u = 0. Substituindo u = 0 nas duas primeiras equações:
-2(0)^2 cos v = 0 e -2(0)^2 sin v = 0
Ambas as equações se reduzem a 0 = 0, que é verdadeira para qualquer valor de v. Portanto, o produto vetorial é zero apenas quando u = 0, independente de v.

Passo 11

No domínio S = [0,1] times [0,2pi], u só pode ser igual a 0 em um único ponto da direção u, mas v pode variar de 0 a 2pi. Porém, como estamos considerando pontos no espaço tridimensional, isso corresponde a um círculo na superfície K onde u = 0, ou seja, o ponto (0, 0, 0).
Portanto, o produto vetorial é zero apenas no ponto (0, 0, 0), que é um único ponto na superfície.

Resposta

A imagem da função f(u, v) = (u cos v, u sin v, u^2) descreve todos os pontos da superfície K = (x, y, z) mid z = x^2 + y^2, 0 <= z <= 1. Além disso, o produto vetorial das derivadas parciais de f é igual a (0, 0, 0) somente no ponto (0, 0, 0), ou seja, para um número finito de pontos em S = [0,1] times [0,2pi].

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