Mostre que a imagem de descreve os pontos da superfície
e que
para um número finito de pontos em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas coisas sobre a função definida no domínio . Primeiro, precisamos provar que a imagem dessa função descreve todos os pontos da superfície . Depois, devemos mostrar que o produto vetorial das derivadas parciais de em relação a e é igual a para apenas um número finito de pontos em . Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo vetorial, como derivadas parciais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a imagem da função . A imagem de é o conjunto de todos os pontos que podemos obter substituindo valores de e na função. Então, queremos mostrar que todo ponto da superfície pode ser obtido dessa forma.
Passo 3
Vamos começar relacionando as componentes de com as coordenadas :
Precisamos verificar se, para qualquer ponto em , existe um par em tal que essas igualdades sejam verdadeiras.
Passo 4
Sabemos que na superfície , temos . Vamos substituir e pelas expressões dadas pela função :
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Que é exatamente a terceira componente de . Isso mostra que, para qualquer e , o ponto gerado por satisfaz a equação da superfície .
Passo 5
Além disso, os valores de e estão restritos a e . Como , isso implica que varia de a , o que está de acordo com a condição da superfície . Portanto, a imagem de cobre exatamente todos os pontos de dentro dessas restrições.
Passo 6
Agora, vamos passar para a segunda parte do exercício: mostrar que o produto vetorial das derivadas parciais de em relação a e é igual a para apenas um número finito de pontos em .
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais e .
Passo 7
Calculando as derivadas parciais:
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas duas derivadas:
Calculando o determinante:
i ( sin v cdot 0 - 2u cdot u cos v ) - j ( cos v cdot 0 - 2u cdot (-u sin v) ) + k ( cos v cdot u cos v - sin v cdot (-u sin v) )
Simplificando:
i (-2u^2 cos v) - j (2u^2 sin v) + k (u cos^2 v + u sin^2 v)
Usando novamente a identidade cos^2 v + sin^2 v = 1:
i (-2u^2 cos v) - j (2u^2 sin v) + k (u times 1)
Ou seja:
(-2u^2 cos v, -2u^2 sin v, u)
Passo 9
Queremos que esse vetor seja igual a (0, 0, 0):
-2u^2 cos v = 0, -2u^2 sin v = 0, u = 0
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 10
Da terceira equação, temos que u = 0. Substituindo u = 0 nas duas primeiras equações:
-2(0)^2 cos v = 0 e -2(0)^2 sin v = 0
Ambas as equações se reduzem a 0 = 0, que é verdadeira para qualquer valor de v. Portanto, o produto vetorial é zero apenas quando u = 0, independente de v.
Passo 11
No domínio S = [0,1] times [0,2pi], u só pode ser igual a 0 em um único ponto da direção u, mas v pode variar de 0 a 2pi. Porém, como estamos considerando pontos no espaço tridimensional, isso corresponde a um círculo na superfície K onde u = 0, ou seja, o ponto (0, 0, 0).
Portanto, o produto vetorial é zero apenas no ponto (0, 0, 0), que é um único ponto na superfície.
Resposta
A imagem da função f(u, v) = (u cos v, u sin v, u^2) descreve todos os pontos da superfície K = (x, y, z) mid z = x^2 + y^2, 0 <= z <= 1. Além disso, o produto vetorial das derivadas parciais de f é igual a (0, 0, 0) somente no ponto (0, 0, 0), ou seja, para um número finito de pontos em S = [0,1] times [0,2pi].