(b) f é derivável em x=1.
10. Seja cll-1-x^2 & se & x <= 0 x^2+1 & se & x>0.

Passo 1

A questão dá uma função definida em partes e pede pra gente ver se ela é derivável em x=1. O conteúdo aqui é definição de derivada, que diz que f é derivável em um ponto a se o limite limhto0 f(a+h)-f(a)h existir e for finito.

Passo 2

Como 1 é maior que 0, tanto f(1) quanto f(1+h) para h pequeno usam a expressão x^2+1. Então temos:
Calculamos f(1) e f(1+h):
f(1)=1^2+1=2,
f(1+h)=(1+h)^2+1=1+2h+h^2+1=2+2h+h^2
Agora montamos o quociente de diferença e simplificamos:
f(1+h)-f(1)h =(2+2h+h^2)-2h =2h+h^2h =2+h
Por fim, tomamos o limite quando hto0:
limhto0(2+h)=2
Como esse limite existe e é finito, concluímos que f é derivável em x=1 e que f'(1)=2.

Resposta

Sim. A derivada existe e vale f'(1)=2.

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