1. Encontre a equação da reta tangente à curva y=2 x^2+3 que seja paralela à reta 8 x-y+3=0.
  2. Ache uma equação de cada reta tangente à curva y=x^3-3 x que é perpendicular à reta 2 x+18 y-9=0.

Passo 1

O problema é em duas partes: primeiro a gente precisa achar a reta tangente à curva y=2x^2+3 que seja paralela à reta 8x - y + 3 = 0. Depois, achar as retas tangentes à curva y = x^3 - 3x que sejam perpendiculares à reta 2x + 18y - 9 = 0. O conteúdo principal aqui é derivada (que dá o coeficiente angular da tangente) e as condições de parallelismo e perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Para a parte 1, comece encontrando o coeficiente angular da reta dada. Reescrevendo 8x - y + 3 = 0 em forma explícita, temos
y = 8x + 3
Então o coeficiente angular é m = 8. Na curva y = 2x^2 + 3, a derivada é
dydx = 4x
Para que a tangente seja paralela, igualamos 4x = 8, obtendo x = 2. O ponto correspondente é y = 2cdot2^2 + 3 = 11, logo o ponto de tangência é (2,11).

Passo 3

Ainda na parte 1, temos o coeficiente angular da tangente m = 8 e o ponto (2,11). A equação ponto-­reta fica
y - 11 = 8(x - 2)
Desenvolvendo, obtemos
y = 8x - 16 + 11 = 8x - 5

Passo 4

Para a parte 2, a reta dada é 2x + 18y - 9 = 0. Colocando em forma explícita:
18y = -2x + 9 y = -19x + 12
Logo o coeficiente angular é -1/9. A condição de perpendicularidade exige que o produto dos coeficientes seja -1), ou seja,
l(-19r) cdot mt = -1 Longrightarrow mt = 9
Na curva y = x^3 - 3x, derivamos:
dydx = 3x^2 - 3
Igualando a 9 para achar os pontos de tangência:
3x^2 - 3 = 9 Longrightarrow 3x^2 = 12 Longrightarrow x^2 = 4 Longrightarrow x = pm 2
Os pontos são:
Para x=2: y = 2^3 - 3cdot2 = 8 - 6 = 2, ponto (2,2).
Para x=-2: y = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2, ponto (-2,-2).

Passo 5

Por fim, escrevemos as equações das duas retas tangentes com mt = 9:
Para (2,2):
y - 2 = 9(x - 2) Longrightarrow y = 9x - 18 + 2 = 9x - 16
Para (-2,-2):
y + 2 = 9(x + 2) Longrightarrow y = 9x + 18 - 2 = 9x + 16

Resposta

  1. y = 8x - 5
  2. y = 9x - 16 e y = 9x + 16

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