- Encontre a equação da reta tangente à curva
que seja paralela à reta
.
- Ache uma equação de cada reta tangente à curva
que é perpendicular à reta
.
Passo 1
O problema é em duas partes: primeiro a gente precisa achar a reta tangente à curva
que seja paralela à reta
. Depois, achar as retas tangentes à curva
que sejam perpendiculares à reta
. O conteúdo principal aqui é derivada (que dá o coeficiente angular da tangente) e as condições de parallelismo e perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Para a parte 1, comece encontrando o coeficiente angular da reta dada. Reescrevendo
em forma explícita, temos
Então o coeficiente angular é
. Na curva
, a derivada é
Para que a tangente seja paralela, igualamos
, obtendo
. O ponto correspondente é
, logo o ponto de tangência é
.
Passo 3
Ainda na parte 1, temos o coeficiente angular da tangente
e o ponto
. A equação ponto-reta fica
Desenvolvendo, obtemos
Passo 4
Para a parte 2, a reta dada é
. Colocando em forma explícita:
Logo o coeficiente angular é
. A condição de perpendicularidade exige que o produto dos coeficientes seja
, ou seja,
Na curva
, derivamos:
Igualando a 9 para achar os pontos de tangência:
Os pontos são:
Para :
, ponto
.
Para :
, ponto
.
Para
Para
Passo 5
Por fim, escrevemos as equações das duas retas tangentes com
:
Para :
Para
Para
:
Resposta
-
-
e