Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa: Se
, então
é um ponto de inflexão da curva
.
Passo 1
O enunciado pergunta se a condição
já garante que
seja ponto de inflexão de
. O conteúdo é análise de concavidade e definição de ponto de inflexão, que exige mudança de sinal de
em torno de
.
Passo 2
Para entender ponto de inflexão, lembramos que é um ponto onde a concavidade da curva muda. Em termos de derivadas,
é ponto de inflexão se
muda de sinal ao passar por 0 (de positiva para negativa ou vice-versa).
Só ter é condição necessária mas não suficiente para inflexão. Precisamos testar a vizinhança de 0 e ver se
realmente troca de sinal. Se não trocar, não há inflexão.
Só ter
Passo 3
Vamos dar um contra-exemplo clássico:
Considere
Então
logo
. Mas para todo
temos
, isto é, a concavidade é sempre de “côncavo para cima”, sem troca de sinal.
Passo 4
Como não há mudança de concavidade em nenhum ponto (sempre côncavo para cima),
não é ponto de inflexão. Isso mostra que a afirmação é falsa porque falta exigir a variação de sinal de
.
Resposta
Falsa. Um contra-exemplo é
, que tem
mas sem mudança de sinal de
, logo não há ponto de inflexão.