Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa: Se f^prime prime(0)=0, então (0, f(0)) é um ponto de inflexão da curva y=f(x).

Passo 1

O enunciado pergunta se a condição f''(0)=0 já garante que (0,f(0)) seja ponto de inflexão de y=f(x). O conteúdo é análise de concavidade e definição de ponto de inflexão, que exige mudança de sinal de f'' em torno de x=0.

Passo 2

Para entender ponto de inflexão, lembramos que é um ponto onde a concavidade da curva muda. Em termos de derivadas, x=0 é ponto de inflexão se f''(x) muda de sinal ao passar por 0 (de positiva para negativa ou vice-versa).
Só ter f''(0)=0 é condição necessária mas não suficiente para inflexão. Precisamos testar a vizinhança de 0 e ver se f''(x) realmente troca de sinal. Se não trocar, não há inflexão.

Passo 3

Vamos dar um contra-exemplo clássico:
Considere
f(x)=x^4
Então
f''(x)=12x^2,
logo f''(0)=0. Mas para todo xneq0 temos f''(x)=12x^2>0, isto é, a concavidade é sempre de “côncavo para cima”, sem troca de sinal.

Passo 4

Como não há mudança de concavidade em nenhum ponto (sempre côncavo para cima), (0,f(0))=(0,0) não é ponto de inflexão. Isso mostra que a afirmação é falsa porque falta exigir a variação de sinal de f''.

Resposta

Falsa. Um contra-exemplo é f(x)=x^4, que tem f''(0)=0 mas sem mudança de sinal de f'', logo não há ponto de inflexão.

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