Derive.
12. f(x)=e^x sen x+cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^xsin x+cos x
O conteúdo usado será a regra da soma de derivadas, a regra do produto e as derivadas básicas de e^x, sin x e cos x.

Passo 2

Usamos a regra da soma:
f'(x)=ddxl(e^xsin xr)+ddxl(cos xr)
Para ddx(e^xsin x) aplicamos a regra do produto, que diz
ddxl(u,vr)=u',v+u,v'
Aqui u=e^x e v=sin x, então
u'=e^x, v'=cos x
e
ddx(e^xsin x) =e^xsin x+e^xcos x
Além disso,
ddx(cos x)=-sin x

Passo 3

Somando os resultados obtemos
f'(x)=l(e^xsin x+e^xcos xr)+l(-sin xr) =e^xsin x+e^xcos x-sin x
Podemos fatorar e^x:
f'(x)=e^xl(sin x+cos xr)-sin x

Resposta

f'(x)=e^xl(sin x+cos xr)-sin x

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