Uma EDO linear homogênea de ordem n é qualquer EDO que possa ser escrita na forma
an(x) y^(n)+ldots+a1(x) y^prime+a0(x) y=0
Assim sendo, verifique se as funções dos conjuntos de cada item efetivamente resolvem as respectivas EDO’s lineares homogêneas:
b) {{1, x, \cos (x), \operatorname{sen}(x)}, y{(4)}+y{\prime \prime}=0}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de ordem 4:
y^(4) + y'' = 0
e o conjunto de funções 1, x, cos x, sin x. Precisamos verificar se cada uma delas satisfaz a EDO ao calcular suas derivadas e substituir em y^(4)+y''.

Passo 2

Para y1(x)=1 temos
y1' = 0, y1'' = 0, y1^(3)=0, y1^(4)=0
Logo,
y1^(4) + y1'' = 0 + 0 = 0,
portanto y1 satisfaz a EDO.

Passo 3

Para y2(x)=x temos
y2' = 1, y2'' = 0, y2^(3)=0, y2^(4)=0
Logo,
y2^(4) + y2'' = 0 + 0 = 0,
portanto y2 satisfaz a EDO.

Passo 4

Para y3(x)=cos x temos
y3' = -sin x, y3'' = -cos x, y3^(3) = sin x, y3^(4) = cos x
Logo,
y3^(4) + y3'' = cos x + (-cos x) = 0,
portanto y3 satisfaz a EDO.

Passo 5

Para y4(x)=sin x temos
y4' = cos x, y4'' = -sin x, y4^(3) = -cos x, y4^(4) = sin x
Logo,
y4^(4) + y4'' = sin x + (-sin x) = 0,
portanto y4 satisfaz a EDO.

Resposta

As quatro funções resolvem a EDO ,y^(4)+y''=0. Consequentemente, a solução geral é
y(x) = C1 + C2,x + C3cos x + C4sin x

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