Derive.
16. y=x^2 sen x tg x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^2,sin x,tan x
Este é um problema de derivadas de produto de funções: iremos usar a regra do produto e as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Escrevemos y como produto de duas funções:
u(x) = x^2, v(x) = sin x,tan x
Pela regra do produto,
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Sabemos que u'(x) = 2x, então
y' = 2x;l(sin x,tan xr) ;+; x^2;v'(x)

Passo 3

Agora calculamos v'(x) para v(x)=sin x,tan x. De novo usamos a regra do produto:
se a(x)=sin x,;b(x)=tan x, então v'(x)=a'(x),b(x)+a(x),b'(x) ã
Como a'(x)=cos x e b'(x)=sec^2x, obtemos
v'(x) = cos x,tan x ;+; sin x,sec^2x

Passo 4

Substituindo v'(x) em y',
y' = 2x,sin x,tan x ;+; x^2,l(cos x,tan x + sin x,sec^2xr)
Podemos simplificar cos x,tan x = sin x e deixar sec^2x como está, ou então factorar sin x. Uma forma compacta é:
y' = 2x,sin x,tan x ;+; x^2,sin x,(1 + sec^2x)

Resposta

y' = 2x,sin x,tan x ;+; x^2,l(cos x,tan x + sin x,sec^2xr)

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