Derive.
12. y=cos x1-sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = cos x1 - sen x
O conteúdo é derivada de quociente, então vamos usar a regra do quociente junto com a identidade trigonométrica sen^2 x + cos^2 x = 1.

Passo 2

Definimos
u(x) = cos x, v(x) = 1 - sen x
Pela regra do quociente,
y' = u',v - u,v'v^2

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = -sen x, v'(x) = -cos x

Passo 4

Substituindo em
y' = (-sen x)(1 - sen x) - (cos x)(- cos x)(1 - sen x)^2
obtemos o numerador
-sen x + sen^2 x + cos^2 x

Passo 5

Usando sen^2 x + cos^2 x = 1, o numerador vira
-sen x + 1 = 1 - sen x
Logo
y' = 1 - sen x(1 - sen x)^2

Passo 6

Cancelando um fator 1 - sen x no numerador e no denominador, fica
y' = 11 - sen x

Resposta

y' = 11 - sen x

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