Derive, após obter as funções:
Dado um pedaço de papelão quadrado com 12 cm de lado, tira-se de cada canto do papelão, quadrados \operatorname{com} \times \mathrm{cm} de lados e os bordos são dobrados de modo que forme uma caixa sem tampa. Determine o volume V da caixa em função de x , indicando o domínio e a imagem.

Passo 1

O enunciado pede para modelar o volume de uma caixa sem tampa feita a partir de um quadrado de lado 12 cm, cortando quadradinhos de lado x em cada canto e dobrando as abas. Isso envolve montar a função polinomial que dá o volume em função de x e depois determinar o domínio (valores admissíveis de x) e a imagem (valores possíveis de V).

Passo 2

Após cortar quadrados de lado x em cada canto, a “base” da caixa terá dimensões
(12 - 2x)\times(12 - 2x)
e a altura será x. Portanto, o volume V em função de x é dado por
V(x) = x \cdot (12 - 2x)^{2}.

Passo 3

Para achar o domínio, exigimos que as dimensões da base sejam não negativas, ou seja
12 - 2x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \le 6,
e obviamente x\ge0. Logo o domínio natural é
\mathcal{D} = [0,6].

Passo 4

Para determinar a imagem, avaliamos V(x) nos extremos e buscamos máximo interior.
Em x=0 e em x=6 temos
V(0)=0,\quad V(6)=6\;(12-12)^{2}=0.
Para o máximo relativo, derivamos:
V'(x) = (12 - 2x)^{2} + x\cdot 2(12 - 2x)\,(-2) =144 - 96x +12x^{2}.
Impondo V'(x)=0
12x^{2}-96x+144=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-8x+12=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2\text{ ou }x=6.
O ponto interior é x=2, onde
V(2)=2\,(12-4)^{2}=2\cdot 8^{2}=128.
Logo a imagem é
\operatorname{Im}(V) = [0,128].

Resposta

V(x)=x\,(12-2x)^{2}
Domínio: \mathcal{D}=[0,6]
Imagem: \operatorname{Im}(V)=[0,128]

Exercícios relacionados