(a) Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade es pontos de inflexão.
(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de f.
f(x)=e^{-2 / x}

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=e^{-2/x},
nos domínios onde ela está definida ( x\neq0). Vamos usar limites para assíntotas, derivada primeira para monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais e horizontais, examinamos limites:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}e^{-2/x}=e^{+\infty}=+\infty,
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}e^{-2/x}=e^{-\infty}=0.
Como há comportamento não limitado em x=0, existe assíntota vertical em x=0.
Em seguida, para horizontais:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}e^{-2/x}=e^{0}=1,
logo assíntota horizontal em y=1.

Passo 3

Calculamos a derivada para estudar monotonicidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2/x}\bigr) =e^{-2/x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(-2/x\bigr) =e^{-2/x}\cdot\frac{2}{x^2}.
Como e^{-2/x}>0 e \tfrac{2}{x^2}>0 para todo x\neq0, temos f'(x)>0 em ambos os ramos (-\infty,0) e (0,\infty). Portanto, f é crescente em toda a parte de seu domínio.

Passo 4

Como f'(x) nunca se anula nem muda de sinal (sempre positiva), não há pontos críticos no domínio e, consequentemente, não existem máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Para concavidade, achamos a derivada segunda:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(e^{-2/x}\,\frac{2}{x^2}\Bigr) =e^{-2/x}\Bigl(-\frac{4}{x^3}\Bigr) +\frac{2}{x^2}\,e^{-2/x}\,\frac{2}{x^2} =e^{-2/x}\,\frac{4(1-x)}{x^4}.
O sinal de f''(x) é o de 1-x, pois e^{-2/x}>0 e x^4>0. Logo:
– Se x<1, então 1-x>0 e f''(x)>0: concavidade para cima.
– Se x>1, então 1-x<0 e f''(x)<0: concavidade para baixo.
Há mudança de concavidade em x=1, ponto de inflexão em
\bigl(1,f(1)\bigr) =\bigl(1,e^{-2}\bigr).

Passo 6

Com os dados anteriores, o esboço de f é o seguinte:
– Em (-\infty,0): f cresce de 1^+ (quando x\to-\infty) até +\infty (quando x\to0^-), sempre côncava para cima.
– Em (0,\infty): f cresce de 0 (quando x\to0^+) até aproximar-se de 1^- (quando x\to+\infty), côncava para cima até x=1 e côncava para baixo para x>1. Há inflexão em \bigl(1,e^{-2}\bigr).
– Assíntota vertical em x=0 e horizontal em y=1.

Resposta

(a) Assíntota vertical em x=0; assíntota horizontal em y=1.
(b) f é crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty).
(c) Não há máximos nem mínimos locais.
(d) Concavidade para cima em (-\infty,0)\cup(0,1), para baixo em (1,\infty); inflexão em \bigl(1,e^{-2}\bigr).
(e) O gráfico tem ramo crescente saindo de 1^+ em x\to-\infty, vai a +\infty ao se aproximar de 0^-, cai de +\infty a 0 saltando o buraco em x=0, depois cresce de 0 a 1 como descrito, com mudança de concavidade em x=1, aproximando-se da reta y=1.

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