(a) Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade es pontos de inflexão.
(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de
.
(b) Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade es pontos de inflexão.
(e) Use a informação das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
nos domínios onde ela está definida (
). Vamos usar limites para assíntotas, derivada primeira para monotonicidade e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
Para achar as assíntotas verticais e horizontais, examinamos limites:
Como há comportamento não limitado em
, existe assíntota vertical em
.
Em seguida, para horizontais:
Em seguida, para horizontais:
logo assíntota horizontal em
.
Passo 3
Calculamos a derivada para estudar monotonicidade:
Como
e
para todo
, temos
em ambos os ramos
e
. Portanto,
é crescente em toda a parte de seu domínio.
Passo 4
Como
nunca se anula nem muda de sinal (sempre positiva), não há pontos críticos no domínio e, consequentemente, não existem máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Para concavidade, achamos a derivada segunda:
O sinal de
é o de
, pois
e
. Logo:
– Se , então
e
: concavidade para cima.
– Se , então
e
: concavidade para baixo.
Há mudança de concavidade em , ponto de inflexão em
– Se
– Se
Há mudança de concavidade em
Passo 6
Com os dados anteriores, o esboço de
é o seguinte:
– Em :
cresce de
(quando
) até
(quando
), sempre côncava para cima.
– Em :
cresce de
(quando
) até aproximar-se de
(quando
), côncava para cima até
e côncava para baixo para
. Há inflexão em
.
– Assíntota vertical em e horizontal em
.
– Em
– Em
– Assíntota vertical em
Resposta
(a) Assíntota vertical em
; assíntota horizontal em
.
(b) é crescente em
e em
.
(c) Não há máximos nem mínimos locais.
(d) Concavidade para cima em , para baixo em
; inflexão em
.
(e) O gráfico tem ramo crescente saindo de em
, vai a
ao se aproximar de
, cai de
a
saltando o buraco em
, depois cresce de
a
como descrito, com mudança de concavidade em
, aproximando-se da reta
.
(b)
(c) Não há máximos nem mínimos locais.
(d) Concavidade para cima em
(e) O gráfico tem ramo crescente saindo de