Resolva as EDO’s utilizando Laplace e produto de convolução:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=t^{2}+1 \\\ y(0)=y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema é a EDO com condições iniciais
y''+y = t^2+1,\quad y(0)=0,\;y'(0)=0
e vamos usar transformada de Laplace e produto de convolução para achar y(t).

Passo 2

Aplique Laplace em ambos os lados. Chamando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\},
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s),
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(s^2+1)Y(s) =\mathcal{L}\{t^2+1\} =\tfrac{2}{s^3}+\tfrac{1}{s}.
Assim
Y(s) =\frac{2}{s^3(s^2+1)}+\frac{1}{s(s^2+1)}.

Passo 3

Separe as duas parcelas como produtos de transformadas:
  1. \displaystyle \frac{1}{s(s^2+1)} = \frac{1}{s}\,\frac{1}{s^2+1}.
  2. \displaystyle \frac{2}{s^3(s^2+1)} = \frac{2}{s^3}\,\frac{1}{s^2+1}.
    Na forma convolucional, se F(s)G(s) é o produto, então
    \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=f*g, onde (f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 4

Para a segunda parcela, F_1(s)=1/s e G_1(s)=1/(s^2+1) dão
f_1(t)=1,\quad g_1(t)=\sin t,
então
y_1(t) =(f_1*g_1)(t) =\int_{0}^{t}1\cdot\sin(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t}\sin u\,du =1-\cos t.

Passo 5

Para a primeira parcela, F_2(s)=2/s^3 e G_2(s)=1/(s^2+1) dão
f_2(t)=t^2,\quad g_2(t)=\sin t,
e
y_2(t) =(f_2*g_2)(t) =\int_{0}^{t}\tau^2\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau.
Use \sin(t-\tau)=\sin t\cos\tau-\cos t\sin\tau e defina
I_1=\int_{0}^{t}\tau^2\cos\tau\,d\tau,\quad I_2=\int_{0}^{t}\tau^2\sin\tau\,d\tau.
Por partes obtém-se
I_1=\sin t\,(t^2-2)+2t\cos t,\quad I_2=-t^2\cos t+2t\sin t+2\cos t-2.
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y_2(t) =\sin t\;I_1-\cos t\;I_2 =t^2+2\cos t-2.

Passo 6

Somando y_1 e y_2 e simplificando:
y(t)=y_1(t)+y_2(t) =(1-\cos t)+(t^2+2\cos t-2) =t^2+\cos t-1.

Resposta

\boxed{y(t)=t^2+\cos t-1.}

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