Derive cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é dada por um quociente entre
(numerador) e (denominador). - Observação sobre domínio (importante para validade da derivada): a função
exige que , ou seja .
Passo 2
Escolha do método: como temos um quociente
, o método natural é usar a regra do quociente. Para calcular a derivada do numerador
precisaremos também da regra do produto e da regra da cadeia (pois aparece
). Para o denominador usamos a regra da cadeia ao derivar
. Essa combinação (quociente + produto + cadeia) é a maneira direta e eficiente de obter
.
Passo 3
Relembrando as fórmulas que usaremos (vou explicar cada uma de forma bem simples):
- Regra do quociente: para
,
onde
e
são as derivadas do numerador e denominador respectivamente.
- Regra do produto: para
,
Aqui
é a derivada de
e
a derivada de
.
- Regra da cadeia (forma prática): se
, então
Aplicações específicas:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Passo 4
Derivando o numerador
usando a regra do produto:
- Tome
e . -
. - Para
usamos a regra da cadeia: tem derivada porque a derivada de é .
Aplicando a regra do produto:
Fatorando
,
Passo 5
Derivando o denominador
pela regra da cadeia:
- A função externa é
e a interna é . - A derivada da externa em relação a
é . - A derivada da interna é
.
Portanto
Passo 6
Agora aplicamos a regra do quociente com
já computados:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 7
Vamos simplificar a expressão anterior de forma organizada:
- No numerador é possível fatorar
:
- Para juntar os termos dentro dos colchetes em uma única fração, escrevemos o primeiro termo com denominador
:
- Subtraindo
obtemos dentro dos colchetes
- Assim o numerador total vira
- Colocando isso sobre o denominador
obtemos uma forma simplificada (pronta para ser a resposta final). Para ficar mais explícito, podemos expandir , o que leva ao numerador interno