Derive cada função abaixo.
f(x)=\frac{x e^{2 x}}{\ln (3 x+1)}\'

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x e^{2x}}{\ln(3x+1)}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é dada por um quociente entre N(x)=x e^{2x} (numerador) e D(x)=\ln(3x+1) (denominador).
  • Observação sobre domínio (importante para validade da derivada): a função \ln(3x+1) exige que 3x+1>0, ou seja x>-\tfrac{1}{3}.

Passo 2

Escolha do método: como temos um quociente N(x)/D(x), o método natural é usar a regra do quociente. Para calcular a derivada do numerador N(x)=x e^{2x} precisaremos também da regra do produto e da regra da cadeia (pois aparece e^{2x}). Para o denominador usamos a regra da cadeia ao derivar \ln(3x+1). Essa combinação (quociente + produto + cadeia) é a maneira direta e eficiente de obter f'(x).

Passo 3

Relembrando as fórmulas que usaremos (vou explicar cada uma de forma bem simples):
  • Regra do quociente: para f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)},
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^2},
onde N'(x) e D'(x) são as derivadas do numerador e denominador respectivamente.
  • Regra do produto: para h(x)=u(x)v(x),
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) a derivada de v.
  • Regra da cadeia (forma prática): se g(x)=\varphi(\psi(x)), então
g'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
Aplicações específicas:
  • Derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • Derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 4

Derivando o numerador N(x)=x e^{2x} usando a regra do produto:
  • Tome u(x)=x e v(x)=e^{2x}.
  • u'(x)=1.
  • Para v'(x) usamos a regra da cadeia: v(x)=e^{2x} tem derivada v'(x)=e^{2x}\cdot(2) porque a derivada de 2x é 2.
    Aplicando a regra do produto:
N'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot e^{2x} + x\cdot(2 e^{2x}).
Fatorando e^{2x},
N'(x)=e^{2x}(1+2x).

Passo 5

Derivando o denominador D(x)=\ln(3x+1) pela regra da cadeia:
  • A função externa é \ln(u) e a interna é u(x)=3x+1.
  • A derivada da externa em relação a u é 1/u.
  • A derivada da interna é u'(x)=3.
    Portanto
D'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{3}{3x+1}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do quociente com N, N', D, D' já computados:
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^2}.
Substituindo N'(x)=e^{2x}(1+2x), N(x)=x e^{2x}, D(x)=\ln(3x+1) e D'(x)=\dfrac{3}{3x+1}, obtemos
f'(x)=\frac{e^{2x}(1+2x)\,\ln(3x+1)-x e^{2x}\cdot\frac{3}{3x+1}}{\bigl[\ln(3x+1)\bigr]^2}.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão anterior de forma organizada:
  • No numerador é possível fatorar e^{2x}:
\text{numerador}=e^{2x}\left[(1+2x)\ln(3x+1)-\frac{3x}{3x+1}\right].
  • Para juntar os termos dentro dos colchetes em uma única fração, escrevemos o primeiro termo com denominador 3x+1:
(1+2x)\ln(3x+1)=\frac{(1+2x)(3x+1)\ln(3x+1)}{3x+1}.
  • Subtraindo \dfrac{3x}{3x+1} obtemos dentro dos colchetes
\frac{(1+2x)(3x+1)\ln(3x+1)-3x}{3x+1}.
  • Assim o numerador total vira
e^{2x}\cdot\frac{(1+2x)(3x+1)\ln(3x+1)-3x}{3x+1}.
  • Colocando isso sobre o denominador \bigl[\ln(3x+1)\bigr]^2 obtemos uma forma simplificada (pronta para ser a resposta final). Para ficar mais explícito, podemos expandir (1+2x)(3x+1)=6x^2+5x+1, o que leva ao numerador interno
(6x^2+5x+1)\ln(3x+1)-3x.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{2x}\bigl[(6x^{2}+5x+1)\ln(3x+1)-3x\bigr]}{(3x+1)\bigl[\ln(3x+1)\bigr]^{2}},\quad x>-\tfrac{1}{3}.

Exercícios relacionados