Derive cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
.
Domínio implícito: o argumento do logaritmo deve ser positivo, ou seja .
Informações relevantes que o enunciado dá:
Domínio implícito: o argumento do logaritmo deve ser positivo, ou seja
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que vamos usar: se temos uma função composta
, a derivada é dada pela regra da cadeia:
Explicando de leve: diferenciamos a função externa
em relação à sua variável (avaliada em
) e multiplicamos pela derivada da função interna
. Isso é a regra da cadeia — é o jeito formal de tratar derivadas de funções dentro de funções.
Passo 3
Identificamos as partes da composição na nossa função:
a função externa é (com
) e a função interna é
. Vou explicar cada uma:
a função externa é
-
. Sabemos que a derivada do logaritmo natural é
ou seja, a derivada de
em relação a
é
.
-
. É uma função linear; a derivada de uma função linear é simplesmente o coeficiente . Então
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia com os resultados acima. Pela regra:
Substituindo
com
, e
, temos
Passo 5
Simplificando o produto obtemos a forma final da derivada:
Lembrete prático para prova: pode pensar “derivada de
é a derivada do ‘algo’ sobre o próprio ‘algo’”. Aqui a derivada de
é
, então é
.
Passo 6
Observações finais e checagem rápida:
- A derivada só faz sentido no domínio original da função, ou seja para
(pois precisa ser positivo). - Exemplo numérico para conferir: em
, . Você pode checar aproximando a diferença de próximo de e verá algo próximo a .