Derive cada função abaixo.
f(x)=\ln (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \displaystyle f(x)=\ln(2x+1).
Informações relevantes que o enunciado dá:
\displaystyle f(x)=\ln(2x+1).
Domínio implícito: o argumento do logaritmo deve ser positivo, ou seja \displaystyle 2x+1>0\Rightarrow x>-\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que vamos usar: se temos uma função composta \displaystyle F(x)=g(u(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia:
F'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Explicando de leve: diferenciamos a função externa g em relação à sua variável (avaliada em u(x)) e multiplicamos pela derivada da função interna u(x). Isso é a regra da cadeia — é o jeito formal de tratar derivadas de funções dentro de funções.

Passo 3

Identificamos as partes da composição na nossa função:
a função externa é g(t)=\ln t (com t=u(x)) e a função interna é u(x)=2x+1. Vou explicar cada uma:
  • g(t)=\ln t. Sabemos que a derivada do logaritmo natural é
g'(t)=\frac{1}{t},
ou seja, a derivada de \ln t em relação a t é 1/t.
  • u(x)=2x+1. É uma função linear; a derivada de uma função linear \displaystyle ax+b é simplesmente o coeficiente a. Então
u'(x)=2.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia com os resultados acima. Pela regra:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Substituindo g'(t)=\dfrac{1}{t} com t=u(x)=2x+1, e u'(x)=2, temos
f'(x)=\frac{1}{2x+1}\cdot 2.

Passo 5

Simplificando o produto obtemos a forma final da derivada:
f'(x)=\frac{2}{2x+1}.
Lembrete prático para prova: pode pensar “derivada de \ln(\text{algo}) é a derivada do ‘algo’ sobre o próprio ‘algo’”. Aqui a derivada de \,2x+1 é 2, então é 2/(2x+1).

Passo 6

Observações finais e checagem rápida:
  • A derivada só faz sentido no domínio original da função, ou seja para \displaystyle x>-\tfrac{1}{2} (pois \,2x+1 precisa ser positivo).
  • Exemplo numérico para conferir: em x=0, f'(0)=\dfrac{2}{2\cdot0+1}=2. Você pode checar aproximando a diferença de \ln(2x+1) próximo de 0 e verá algo próximo a 2.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2}{2x+1}

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