Derive cada função abaixo.
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(3 x)}{1+x^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para derivar (ou seja, calcular a derivada de) a função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(3x)}{1+x^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{Função: } f(x)=\frac{\operatorname{sen}(3x)}{1+x^{2}}.çã
Pergunta: Encontrar f'(x), a derivada da função em termos de x.

Passo 2

Decidimos escrever a função de uma forma que facilite o uso das regras de derivação:
f(x)=\operatorname{sen}(3x)\cdot(1+x^{2})^{-1}.
Aqui estamos vendo f como produto de duas funções:
u(x)=\operatorname{sen}(3x)\quad\text{e}\quad v(x)=(1+x^{2})^{-1}.
Vou usar a regra do produto para derivar f. Antes de aplicar, lembro as regras necessárias e dou mini-aulas sobre elas.
Regra do produto (mini-aula): Se h(x)=u(x)\,v(x), então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Significado: para derivar um produto, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira vezes a derivada da segunda.
Regra da cadeia (mini-aula): se w(x)=\varphi(\psi(x)) (uma função composta), então
w'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
Ou seja, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna.
Derivada de \operatorname{sen}(t): \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\operatorname{cos}(t).
Regra da potência (mini-aula): se r(x)=(g(x))^{n}, então
r'(x)=n\,(g(x))^{n-1}\cdot g'(x).
Vamos aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Derivando u(x)=\operatorname{sen}(3x) usando a regra da cadeia:
definimos \varphi(t)=\operatorname{sen}(t) e \psi(x)=3x. Então \varphi'(\psi(x))=\operatorname{cos}(3x) e \psi'(x)=3. Portanto
u'(x)=3\operatorname{cos}(3x).
Explicando devagar: a derivada de \operatorname{sen}(t) é \operatorname{cos}(t); como t=3x, multiplicamos por a derivada de 3x, que é 3.

Passo 4

Derivando v(x)=(1+x^{2})^{-1} usando a regra da potência + cadeia:
tomamos g(x)=1+x^{2} e n=-1. Pela regra da potência,
v'(x) = -1\,(1+x^{2})^{-2}\cdot \frac{d}{dx}(1+x^{2}).
E \dfrac{d}{dx}(1+x^{2})=2x. Assim
v'(x) = -1\,(1+x^{2})^{-2}\cdot 2x = -2x(1+x^{2})^{-2}.
Explicando: reduzimos o expoente em 1 (de -1 para -2) e multiplicamos pelo derivado do interior 2x.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
f'(x)=\bigl(3\operatorname{cos}(3x)\bigr)\cdot(1+x^{2})^{-1}+\operatorname{sen}(3x)\cdot\bigl(-2x(1+x^{2})^{-2}\bigr).
Organizando:
f'(x)=\frac{3\operatorname{cos}(3x)}{1+x^{2}}-\frac{2x\operatorname{sen}(3x)}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 6

Vamos escrever essa expressão com denominador comum para deixar mais elegante (e isso é útil em provas):
o denominador comum é (1+x^{2})^{2}. Multiplicando a primeira fração por \dfrac{1+x^{2}}{1+x^{2}} obtemos
f'(x)=\frac{3(1+x^{2})\operatorname{cos}(3x)}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2x\operatorname{sen}(3x)}{(1+x^{2})^{2}}.
Somando numeradores:
f'(x)=\frac{3(1+x^{2})\operatorname{cos}(3x)-2x\operatorname{sen}(3x)}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 7

Comentário final e dica para prova: outra forma equivalente seria aplicar diretamente a regra do quociente,
\left(\frac{A}{B}\right)'=\frac{A'B-AB'}{B^{2}},
com A=\operatorname{sen}(3x) e B=1+x^{2}, que dá exatamente a mesma expressão. Use o método com que você se sente mais confortável; aqui escolhemos produto+cadeia porque ficou limpinho passo a passo.

Resposta

f'(x)=\frac{3(1+x^{2})\operatorname{cos}(3x)-2x\operatorname{sen}(3x)}{(1+x^{2})^{2}}

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