Derive cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para derivar (ou seja, calcular a derivada de) a função
Informações dadas que vamos usar:
Pergunta: Encontrar
, a derivada da função em termos de
.
Passo 2
Decidimos escrever a função de uma forma que facilite o uso das regras de derivação:
Aqui estamos vendo
como produto de duas funções:
Vou usar a regra do produto para derivar
. Antes de aplicar, lembro as regras necessárias e dou mini-aulas sobre elas.
Regra do produto (mini-aula): Se
, então
Significado: para derivar um produto, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira vezes a derivada da segunda.
Regra da cadeia (mini-aula): se
(uma função composta), então
Ou seja, derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna.
Derivada de
:
.
Regra da potência (mini-aula): se
, então
Vamos aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Derivando
usando a regra da cadeia:
definimos e
. Então
e
. Portanto
definimos
Explicando devagar: a derivada de
é
; como
, multiplicamos por a derivada de
, que é
.
Passo 4
Derivando
usando a regra da potência + cadeia:
tomamos e
. Pela regra da potência,
tomamos
E
. Assim
Explicando: reduzimos o expoente em 1 (de
para
) e multiplicamos pelo derivado do interior
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
obtidos:
Organizando:
Passo 6
Vamos escrever essa expressão com denominador comum para deixar mais elegante (e isso é útil em provas):
o denominador comum é . Multiplicando a primeira fração por
obtemos
o denominador comum é
Somando numeradores:
Passo 7
Comentário final e dica para prova: outra forma equivalente seria aplicar diretamente a regra do quociente,
com
e
, que dá exatamente a mesma expressão. Use o método com que você se sente mais confortável; aqui escolhemos produto+cadeia porque ficou limpinho passo a passo.