Derive cada função abaixo.
f(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}\'

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}
e pede a derivada f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
f(x)=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{1/3}.
Domínio implícito: todos os x com x\neq-1 (porque aparece divisão por x+1). Observação: em x=1 a função vale zero, mas a derivada pode não existir finita; vamos verificar isso na resolução.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a função de forma confortável para derivar usando regras de potência e cadeia:
f(x)=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{1/3}.
Aqui estamos aplicando a raiz cúbica como uma potência \frac{1}{3}. Em geral, se temos uma função composta \,F(x)=(u(x))^{a}\, com a constante, a regra da cadeia diz que
\frac{d}{dx} (u(x))^{a} = a\,(u(x))^{a-1}\,u'(x).
Explicando de leve: derivamos a potência externa t^a obteríamos a t^{a-1} e, por ser composta com t=u(x), multiplicamos por u'(x).
Vamos aplicar isso com a=\tfrac{1}{3} e u(x)=\dfrac{x-1}{x+1}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\!-2/3}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right).
Agora precisamos calcular a derivada da fração interna \dfrac{x-1}{x+1}. Para isso usamos a regra do quociente: se v(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
v'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{(q(x))^2}.
Aqui p(x)=x-1 e q(x)=x+1. Então p'(x)=1 e q'(x)=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{(1)(x+1)-(x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}.
Essa conta é simples: no numerador os x se cancelam e sobra 1+1=2.

Passo 5

Substituímos essa derivada na expressão obtida pela regra da cadeia:
f'(x)=\frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\!-2/3}\cdot\frac{2}{(x+1)^2}.
Multiplicando o fator constante \tfrac{1}{3} por 2 temos:
f'(x)=\frac{2}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\!-2/3}\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 6

Vamos simplificar a potência negativa. Recorde que z^{-2/3}=(1/z)^{2/3}=\left(\frac{\text{denom}}{\text{num}}\right)^{2/3}. Assim,
\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\!-2/3}=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{2}{3}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 7

Agora combinamos as potências de x+1. Escrevendo explicitamente as potências:
\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2/3}\frac{1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^{2/3}}{(x-1)^{2/3}}\cdot (x+1)^{-2} = \frac{1}{(x-1)^{2/3}}\cdot (x+1)^{2/3-2}.
Calcule o expoente de x+1: \tfrac{2}{3}-2=\tfrac{2}{3}-\tfrac{6}{3}=-\tfrac{4}{3}. Então
f'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2/3}}\cdot (x+1)^{-4/3}.

Passo 8

Reescrevendo de forma mais compacta e limpa:
f'(x)=\frac{2}{3}\,\frac{1}{(x-1)^{2/3}(x+1)^{4/3}}.
Comentário final sobre domínio e pontos singulares: a expressão exige x\neq-1. Em x=1 o denominador tem fator (x-1)^{2/3}=0, então f'(1) não é finita — dá uma divergência (tangente vertical/cúspide). Fora esses pontos, a fórmula acima dá a derivada correta.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{3}\,\frac{1}{(x-1)^{2/3}(x+1)^{4/3}}

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