Derive cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Domínio implícito: todos os
com
(porque aparece divisão por
). Observação: em
a função vale zero, mas a derivada pode não existir finita; vamos verificar isso na resolução.
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a função de forma confortável para derivar usando regras de potência e cadeia:
Aqui estamos aplicando a raiz cúbica como uma potência
. Em geral, se temos uma função composta
com
constante, a regra da cadeia diz que
Explicando de leve: derivamos a potência externa
obteríamos
e, por ser composta com
, multiplicamos por
.
Vamos aplicar isso com
e
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia:
Agora precisamos calcular a derivada da fração interna
. Para isso usamos a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Então
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula do quociente:
Essa conta é simples: no numerador os
se cancelam e sobra
.
Passo 5
Substituímos essa derivada na expressão obtida pela regra da cadeia:
Multiplicando o fator constante
por
temos:
Passo 6
Vamos simplificar a potência negativa. Recorde que
. Assim,
Substituindo:
Passo 7
Agora combinamos as potências de
. Escrevendo explicitamente as potências:
Calcule o expoente de
:
. Então
Passo 8
Reescrevendo de forma mais compacta e limpa:
Comentário final sobre domínio e pontos singulares: a expressão exige
. Em
o denominador tem fator
, então
não é finita — dá uma divergência (tangente vertical/cúspide). Fora esses pontos, a fórmula acima dá a derivada correta.