Derive cada função abaixo.
f(x)=|2 x-8|, x \neq 4

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função \,f(x)=|2x-8|\, e informa explicitamente que x\neq 4.\n
Informações relevantes: \n
  • A função é dada por \,f(x)=|2x-8|\,.\n
  • O ponto onde a expressão dentro do módulo é zero é \,2x-8=0\Rightarrow x=4\,.\n
  • Foi dito que x\neq 4, ou seja, não precisamos (nem podemos) calcular a derivada exatamente em x=4; só para x<4 e x>4.\n
    As perguntas implícitas são: qual é f'(x) quando x<4 e quando x>4?

Passo 2

Lembrete didático sobre o módulo: para qualquer expressão \,u\), temos a definição por partes \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u(x)=2x-8\]. Vamos identificar os intervalos em que \(u(x) é positivo ou negativo. Resolvo a inequação
2x-8\ge 0 \iff 2x\ge 8 \iff x\ge 4.
Portanto, para x>4 temos 2x-8>0 e para x<4 temos 2x-8<0. (Em x=4 a expressão vale zero, mas o enunciado exclui x=4.)]

Passo 3

Escrever f\) como função por partes usando o resultado anterior: \[f(x)=|2x-8|=\begin{cases} 2x-8, & x>4,\\[4pt] -(2x-8)=8-2x, & x<4. \end{cases}
Explicação didática: isso é só aplicar a definição do módulo com (u(x)=2x-8]. Em cada intervalo a função dentro do módulo tem sinal fixo, então o módulo resolve-se em uma expressão linear simples.]

Passo 4

Derivar cada ramo (a derivada de uma soma e de uma constante é simples; derivada de ax+b é a).\n
  • Para x>4: f(x)=2x-8. Derivando, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x-8)=2.
Aqui usei a regra básica: a derivada de \,ax+b\, é \,a\,. No caso a=2.\n
  • Para x<4: f(x)=8-2x. Derivando,
f'(x)=\frac{d}{dx}(8-2x)=-2.
Novamente a derivada de -2x é -2, e a derivada da constante 8 é 0.

Passo 5

Dou uma alternativa útil (fórmula compacta) que frequentemente aparece em provas: se u(x) é diferenciável e u(x)\neq 0, então
\frac{d}{dx}|u(x)| = \frac{u(x)}{|u(x)|}\,u'(x)=\operatorname{sgn}(u(x))\,u'(x),
onde \operatorname{sgn} é a função sinal (valendo 1 se u>0, -1 se u<0).\n
Aplicando aqui u(x)=2x-8 e u'(x)=2, para x\neq 4 obtemos
f'(x)=\operatorname{sgn}(2x-8)\cdot 2.
Isso dá exatamente os mesmos valores: para x>4, \operatorname{sgn}(2x-8)=1 e f'(x)=2; para x<4, \operatorname{sgn}(2x-8)=-1 e f'(x)=-2. Exemplo simples relacionado: para g(x)=|x| (caso de u(x)=x), a fórmula dá g'(x)=\operatorname{sgn}(x) para x\neq 0, isto é, -1 para x<0 e 1 para x>0.

Passo 6

Observação sobre diferenciabilidade em x=4: como as derivadas laterais são diferentes ( \lim_{x\to4^-}f'(x)=-2 e \lim_{x\to4^+}f'(x)=2), a função não é diferenciável em x=4. Isso confirma que faz sentido o enunciado ter dito x\neq 4.

Resposta

f'(x)=\begin{cases} -2, & x<4,\\[4pt] 2, & x>4. \end{cases}]

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