Derive cada função abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
e informa explicitamente que
.\n
Informações relevantes: \n
Informações relevantes: \n
- A função é dada por
\n - O ponto onde a expressão dentro do módulo é zero é
\n - Foi dito que
, ou seja, não precisamos (nem podemos) calcular a derivada exatamente em ; só para e .\n
As perguntas implícitas são: qual équando e quando ?
Passo 2
Lembrete didático sobre o módulo: para qualquer expressão
Aqui
é positivo ou negativo. Resolvo a inequação
Portanto, para
temos
e para
temos
. (Em
a expressão vale zero, mas o enunciado exclui
.)]
Passo 3
Escrever
Explicação didática: isso é só aplicar a definição do módulo com (u(x)=2x-8]. Em cada intervalo a função dentro do módulo tem sinal fixo, então o módulo resolve-se em uma expressão linear simples.]
Passo 4
Derivar cada ramo (a derivada de uma soma e de uma constante é simples; derivada de
é
).\n
- Para
: . Derivando, temos
Aqui usei a regra básica: a derivada de
é
. No caso
.\n
- Para
: . Derivando,
Novamente a derivada de
é
, e a derivada da constante
é
.
Passo 5
Dou uma alternativa útil (fórmula compacta) que frequentemente aparece em provas: se
é diferenciável e
, então
onde
é a função sinal (valendo
se
,
se
).\n
Aplicando aqui e
, para
obtemos
Aplicando aqui
Isso dá exatamente os mesmos valores: para
,
e
; para
,
e
. Exemplo simples relacionado: para
(caso de
), a fórmula dá
para
, isto é,
para
e
para
.
Passo 6
Observação sobre diferenciabilidade em
: como as derivadas laterais são diferentes (
e
), a função não é diferenciável em
. Isso confirma que faz sentido o enunciado ter dito
.