Derive cada função abaixo:
y=e^x arcsec(x);

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y = e^x,arcsec(x)
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a derivada da função inversa arcsec(x).

Passo 2

Identificamos duas funções em produto:
f(x)=e^x e g(x)=arcsec(x).
Pela regra do produto,
y' = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)
Como f'(x)=e^x, ficamos com
y' = e^x,arcsec(x) + e^x,g'(x)

Passo 3

Para achar g'(x)=ddxarcsec(x), usamos a definição inversa. Se
y = arcsec(x),
então sec(y)=x. Derivando implicitamente,
ddx[sec(y)] = ddx[x] Longrightarrow sec(y),tan(y),dydx = 1 Longrightarrow dydx = 1sec(y),tan(y)
Como sec(y)=x e lverttan(y)rvert=raizx^2-1, obtemos
ddxarcsec(x) = 1x,tan(y) = 1|x|raizx^2-1

Passo 4

Substituindo g'(x) em y':
y' = e^x,arcsec(x) + e^x,1|x|raizx^2-1
Podemos ainda fatorar e^x:
y' = e^xl(arcsec(x) + 1|x|raizx^2-1r)

Resposta

y' = e^x,arcsec(x) + e^x|x|raizx^2-1 Long<=ftrightarrow y' = e^xl(arcsec(x) + 1|x|raizx^2-1r)

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