Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ; x >= 0 e x^2+y^2<1

Passo 1

O enunciado define a região
R=(x,y)inR^2 mid x>= 0 e x^2+y^2<1.
O conteúdo é topologia em R^2: queremos esboçar R, encontrar sua fronteira partialR e classificá-la como aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) ou conexo (C).

Passo 2

Geometricamente R é a interseção do semiplano fechado x>=0 com o disco aberto de raio 1. No plano, isso é um semicírculo de raio 1 sem o arco circular, mas com o diâmetro vertical incluído (exceto os dois pontos finais do arco, que ficam fora porque x^2+y^2<1 exclui (0,pm1)).

Passo 3

Para achar o interior int(R), note que qualquer ponto com x>0 e x^2+y^2<1 tem vizinhança inteira dentro de R. Já os pontos em x=0 não são interiores pois qualquer disco ao redor deles atinge o semiplano x<0. Assim
int(R) =(x,y)mid x>0,;x^2+y^2<1

Passo 4

Para achar o fecho R, fechamos cada condição:
– o semiplano x>=0 já é fechado;
– o disco x^2+y^2<1 fecha-se em x^2+y^2<=1.
Logo
R =(x,y)mid x>=0,;x^2+y^2<=1

Passo 5

A fronteira partialR é
partialR =R-int(R) =(x,y)mid x=0,;y^2<=1 ;cup;(x,y)mid x^2+y^2=1,;x>=0
Isto é, o segmento de diâmetro em x=0 com |y|<=1 mais o semiarco de círculo de raio 1 com x>=0.

Passo 6

Classificação de R:
– Aberto? Não, pois contém pontos de fronteira (no diâmetro) que não têm vizinhança inteira.
– Fechado? Não, pois não contém o semiarco x^2+y^2=1.
– Limitado? Sim, pois está dentro do disco de raio 1.
– Compacto? Não, falta ser fechado.
– Conexo? Sim, pois é um semicírculo (um conjunto que pode ser percorrido por caminhos).

Resposta

Fronteira:
partialR =(x,y)mid x=0,;y^2<=1 ;cup;(x,y)mid x^2+y^2=1,;x>=0
Classificação: não aberto, não fechado, limitado (L), não compacto, conexo (C).

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