Esboce a região do plano dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A e
Passo 1
O enunciado define a região .
O conteúdo é topologia em : queremos esboçar , encontrar sua fronteira e classificá-la como aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) ou conexo (C).
Passo 2
Geometricamente é a interseção do semiplano fechado com o disco aberto de raio 1. No plano, isso é um semicírculo de raio 1 sem o arco circular, mas com o diâmetro vertical incluído (exceto os dois pontos finais do arco, que ficam fora porque exclui ).
Passo 3
Para achar o interior , note que qualquer ponto com e tem vizinhança inteira dentro de . Já os pontos em não são interiores pois qualquer disco ao redor deles atinge o semiplano . Assim
Passo 4
Para achar o fecho , fechamos cada condição:
– o semiplano x>=0 já é fechado;
– o disco x^2+y^2<1 fecha-se em x^2+y^2<=1.
Logo
Isto é, o segmento de diâmetro em x=0 com |y|<=1 mais o semiarco de círculo de raio 1 com x>=0.
Passo 6
Classificação de R:
– Aberto? Não, pois contém pontos de fronteira (no diâmetro) que não têm vizinhança inteira.
– Fechado? Não, pois não contém o semiarco x^2+y^2=1.
– Limitado? Sim, pois está dentro do disco de raio 1.
– Compacto? Não, falta ser fechado.
– Conexo? Sim, pois é um semicírculo (um conjunto que pode ser percorrido por caminhos).