Exercício 14 (D.L.5.23)
Sejam
um campo de vetores e
uma singularidade de
. Sabemos que se todos os autovalores generalizados de
têm parte real negativa então existe uma vizinhança
de
em
tal que
, para qualquer solução
de
, com
. Verifique se a recíproca é válida.
Passo 1
O enunciado refere-se ao teorema de linearização de Lyapunov (ou Hartman–Grobman): se todas as partes reais dos autovalores de
são negativas, então o ponto de equilíbrio
é localmente assintoticamente estável, ou seja, existe uma vizinhança
de
tal que toda solução
com
satisfaz
. A recíproca perguntaria: “se
é localmente assintoticamente estável, então todos os autovalores de
têm parte real negativa?” Vamos analisar.
Passo 2
Para ver se a recíproca vale, precisamos de um contraexemplo: um sistema com equilíbrio assintoticamente estável mas cuja linearização em
tem algum autovalor com parte real
. Um exemplo clássico em uma dimensão é dado por
com equilíbrio em
.
Passo 3
Verificamos primeiro o Jacobiano em
:
logo
O único “autovalor” da matriz
é
, que não tem parte real negativa.
Passo 4
Agora mostramos que
é assintoticamente estável para
. A equação é separável:
A condição inicial
dá
, de modo que
Como
,
. Logo,
é localmente (mesmo globalmente) assintoticamente estável.
Passo 5
Concluímos que existe um equilíbrio assintoticamente estável cuja linearização tem autovalor com parte real não negativa (
). Portanto, a recíproca do teorema de linearização não é válida.
Resposta
A recíproca não é válida, conforme mostra o contraexemplo
.