Exercício 14 (D.L.5.23)

Sejam f: E R^n um campo de vetores e x0 in E uma singularidade de f. Sabemos que se todos os autovalores generalizados de D f(x0) in Mn(R) têm parte real negativa então existe uma vizinhança U de x0 em E tal que lim t infty x(t)=x0, para qualquer solução x: R R^n de x^prime=f(x), com x(0) in U. Verifique se a recíproca é válida.

Passo 1

O enunciado refere-se ao teorema de linearização de Lyapunov (ou Hartman–Grobman): se todas as partes reais dos autovalores de D f(x0) são negativas, então o ponto de equilíbrio x0 é localmente assintoticamente estável, ou seja, existe uma vizinhança U de x0 tal que toda solução x(t) com x(0)in U satisfaz limttoinftyx(t)=x0. A recíproca perguntaria: “se x0 é localmente assintoticamente estável, então todos os autovalores de D f(x0) têm parte real negativa?” Vamos analisar.

Passo 2

Para ver se a recíproca vale, precisamos de um contraexemplo: um sistema com equilíbrio assintoticamente estável mas cuja linearização em x0 tem algum autovalor com parte real >=0. Um exemplo clássico em uma dimensão é dado por
dot x = f(x) = -,x^3,
com equilíbrio em x0=0.

Passo 3

Verificamos primeiro o Jacobiano em 0:
f'(x) = -,3x^2,
logo
f'(0) = 0
O único “autovalor” da matriz 1times1 D f(0) é 0, que não tem parte real negativa.

Passo 4

Agora mostramos que x=0 é assintoticamente estável para dot x=-x^3. A equação é separável:
dxdt = -,x^3 Longrightarrow integral x^-3,dx = -integral dt ;Longrightarrow; -12x^2 = -t + C
A condição inicial x(0)=x0 C=1/(2x0^2), de modo que
12x(t)^2 = t + 12x0^2 ;Longrightarrow; x(t) = x0raiz1 + 2,x0^2,t
Como ttoinfty, x(t)to0. Logo, 0 é localmente (mesmo globalmente) assintoticamente estável.

Passo 5

Concluímos que existe um equilíbrio assintoticamente estável cuja linearização tem autovalor com parte real não negativa ( =0). Portanto, a recíproca do teorema de linearização não é válida.

Resposta

A recíproca não é válida, conforme mostra o contraexemplo dot x=-x^3.

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