Exercício 13 (D.L.5.22)

Um a partícula move-se numa reta sob a influência de uma força newtoniana que depende somente da posição da partícula. Mostre que se a força é exercida na direção de 0 in R e é nula em 0 , então a origem é um ponto de equilíbrio estável para o sistema mecânico. (Sugestão: estude a energia total do sistema)

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m move-se numa reta sob ação de uma força F(x) que depende apenas da posição x, é nula em x=0 e aponta sempre para a origem. Queremos mostrar que x=0 é um ponto de equilíbrio estável, isto é, deslocamentos e velocidades iniciais suficientemente pequenos impedem que a partícula se afaste arbitrariamente da origem. Para isso vamos usar o conceito de energia mecânica total.

Passo 2

Como F depende só de x e não de t nem de dot x, ela é conservativa. Logo existe uma função potencial U(x) tal que
F(x) = -U'(x),
com escolha de constante U(0)=0.

Passo 3

Pelas hipóteses, para x>0 temos F(x)<0, isto é, -U'(x)<0 e portanto U'(x)>0. De modo análogo, para x<0 U'(x)<0. Assim U é crescente em (0,infty) e decrescente em (-infty,0), mostrando que U atinge um mínimo estrito em x=0.

Passo 4

A energia mecânica total
E = T + U = tfrac12,m,dot x^2 + U(x)
é conservada ao longo da evolução da partícula.

Passo 5

Dado epsilon>0, como U tem mínimo estrito em 0 e é contínua, existe
Uepsilon ;=;inflvert xrvert = epsilon U(x) ;>;0
Se escolhermos condições iniciais com energia E< Uepsilon, então para todo instante t vale
U(x(t)) <= E < Uepsilon,
o que força lvert x(t)rvert<epsilon. Assim deslocamentos e velocidades pequenas mantêm x(t) dentro de (-epsilon,epsilon), provando a estabilidade de Lyapunov da origem.

Resposta

A origem x=0 é um ponto de equilíbrio estável.

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