Exercício 13 (D.L.5.22)
Um a partícula move-se numa reta sob a influência de uma força newtoniana que depende somente da posição da partícula. Mostre que se a força é exercida na direção de
e é nula em 0 , então a origem é um ponto de equilíbrio estável para o sistema mecânico. (Sugestão: estude a energia total do sistema)
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de massa
move-se numa reta sob ação de uma força
que depende apenas da posição
, é nula em
e aponta sempre para a origem. Queremos mostrar que
é um ponto de equilíbrio estável, isto é, deslocamentos e velocidades iniciais suficientemente pequenos impedem que a partícula se afaste arbitrariamente da origem. Para isso vamos usar o conceito de energia mecânica total.
Passo 2
Como
depende só de
e não de
nem de
, ela é conservativa. Logo existe uma função potencial
tal que
com escolha de constante
.
Passo 3
Pelas hipóteses, para
temos
, isto é,
e portanto
. De modo análogo, para
dá
. Assim
é crescente em
e decrescente em
, mostrando que
atinge um mínimo estrito em
.
Passo 4
A energia mecânica total
é conservada ao longo da evolução da partícula.
Passo 5
Dado
, como
tem mínimo estrito em
e é contínua, existe
Se escolhermos condições iniciais com energia
, então para todo instante
vale
o que força
. Assim deslocamentos e velocidades pequenas mantêm
dentro de
, provando a estabilidade de Lyapunov da origem.
Resposta
A origem
é um ponto de equilíbrio estável.