Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
A integral dada é uma integral imprópria do tipo
. Vamos usar teoria de integrais impróprias de funções racionais e a fórmula padrão para
.
Passo 2
Primeiro, verificamos se o denominador se anula em
. O discriminante é
Como
, não há raízes reais e o integrando é contínuo em todo
, garantindo convergência da integral imprópria.
Passo 3
Para calcular a integral indefinida, usamos a fórmula
Aqui
,
,
, logo
o que dá
Passo 4
Agora avaliamos de
a
. Conforme
, o argumento de
vai a
e
; para
vai a
e
. Assim, o valor da integral imprópria é
Passo 5
Simplificando a raiz, obtemos o resultado final.
Todas as etapas estão justificadas: verificação de convergência, uso da fórmula de integrais de quadráticas e limites de no infinito.
Todas as etapas estão justificadas: verificação de convergência, uso da fórmula de integrais de quadráticas e limites de