Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral-infty^infty 16 x^2+x+35 d x

Passo 1

A integral dada é uma integral imprópria do tipo integral-infty^infty 16x^2+x+35,dx. Vamos usar teoria de integrais impróprias de funções racionais e a fórmula padrão para integraldxax^2+bx+c.

Passo 2

Primeiro, verificamos se o denominador se anula em R. O discriminante é
De
Como De, não há raízes reais e o integrando é contínuo em todo R, garantindo convergência da integral imprópria.

Passo 3

Para calcular a integral indefinida, usamos a fórmula
integral dxax^2+bx+c = 2raiz4ac - b^2arctanl(2ax + braiz4ac - b^2r) + C
Aqui a=6, b=1, c=3/5, logo
4ac - b^2 = 4cdot6cdottfrac35 - 1 = tfrac725 -1 = tfrac675,
o que dá
integral dx6x^2 + x + tfrac35 = 2raiz67/5arctanl(12x+1raiz67/5r) + C

Passo 4

Agora avaliamos de -infty a +infty. Conforme xto+infty, o argumento de arctan vai a +infty e arctantotfracpi2; para xto-infty vai a -infty e arctanto-tfracpi2. Assim, o valor da integral imprópria é
2raiz67/5l(tfracpi2 - l(-tfracpi2r)r) = 2raiz67/5cdotpi = 2piraiz67/5

Passo 5

Simplificando a raiz, obtemos o resultado final.
Todas as etapas estão justificadas: verificação de convergência, uso da fórmula de integrais de quadráticas e limites de arctan no infinito.

Resposta

2piraiz5raiz67

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