Derive cada função dos exercícios 9. a 17. (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
f(x)=1(x^2+2)^2

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=1(x^2+2)^2. O conteúdo principal aqui é derivação de funções compostas, então vamos usar a regra da cadeia. Para isso, precisaremos reescrever a função com expoente negativo e identificar as partes interna e externa.

Passo 2

Reescrever a função em forma de potência facilita aplicar a regra da cadeia. Assim, temos:
f(x) = (x^2 + 2)^-2

Passo 3

Para usar regra da cadeia, definimos a função interna e externa. Seja
u(x) = x^2 + 2,
g(u) = u^-2
Então f(x) = g(u(x)) e a regra da cadeia diz que
f'(x) = g'(u(x)) cdot u'(x)
Além disso, calculamos a derivada de g(u):
g'(u) = -2,u^-3

Passo 4

Agora, encontramos a derivada da interna u(x):
u'(x) = 2x

Passo 5

Substituindo na regra da cadeia, obtemos:
f'(x) = ,g'(u(x))cdot u'(x) = (-2)(x^2+2)^-3 cdot (2x) = -4x,(x^2+2)^-3

Passo 6

Por fim, escrevemos a derivada em forma de fração, que é mais limpa:
f'(x) = -4x(x^2+2)^3

Resposta

-tfrac4x(x^2+2)^3

Exercícios relacionados