Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
72) sum k^3 2^k+32^2 k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumk=1^infty k^32^k+32^2k. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar um teste de convergência (no caso, o teste da razão).

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral ak:
ak = k^32^k+32^2k = k^3,2^k+3-2k = k^3,2^3-k = 8,k^3,2^-k

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão. Calculamos
ak+1ak = 8,(k+1)^3,2^-(k+1)8,k^3,2^-k = l(k+1kr)^312
À medida que ktoinfty, temos l(tfrack+1kr)^3to1 e portanto
L = limktoinftyak+1ak = 12 < 1
O teste da razão diz que se L<1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Como o limite da razão é menor que 1, concluímos que a série converge absolutamente pelo teste da razão.

Resposta

A série converge absolutamente (por aplicação do teste da razão, com limite de razão igual a 1/2<1).

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