Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
(49) sum k!e^3 k

Passo 1

A série dada é sumk=1^inftyk!e^3k. O conteúdo aqui é o teste da razão e vamos precisar da definição: se limktoinfty|ak+1/ak|>1, então a série diverge.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão, calculando
limktoinfty|ak+1ak|
onde ak=k!e^3k.

Passo 3

Substituindo ak, temos
ak+1ak=(k+1)!/e^3(k+1)k!/e^3k=k+1e^3

Passo 4

Agora, tomando o limite,
limktoinftyk+1e^3=+infty>1
Portanto, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão, pois o limite da razão dos termos é +infty>1.

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