Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
(4) sumk=2^infty(-1)^k+1 kln k

Passo 1

A gente precisa ver a convergência da série sumk=2^infty(-1)^k+1kln k. O conteúdo envolve testes de convergência de séries: primeiro análise absoluta, depois condicional (alternante).

Passo 2

Para a convergência absoluta consideramos a série dos valores absolutos sumk=2^inftyl|(-1)^k+1kln kr|=sumk=2^inftykln k. Note que limktoinftykln k=infty, ou seja, o termo geral nem sequer tende a zero. Pelo teste da divergência (se o termo geral não vai a zero, a série diverge), concluímos que não há convergência absoluta.

Passo 3

Para a convergência condicional (série alternante) precisaríamos que o termo geral bk=kln k fosse decrescente a partir de algum ponto e limktoinftybk=0. Mas já vimos que bk cresce e vai a infty, portanto nem a condição bkto0 é satisfeita. Assim, a série nem converge condicionalmente.

Resposta

A série diverge; não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

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