Questão: Calcule o Wronskiano das seguintes funções:
f(x)=x^3 e g(x)=x^2|x|.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o Wronskiano das funções $ f(x) = x^3 $ e $ g(x) = x^2 |x| $. O Wronskiano é uma ferramenta usada em cálculo para verificar se duas funções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas e montar a matriz do Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as derivadas das funções $ f(x) $ e $ g(x) $.
  1. Derivada de $ f(x) = x^3 $:
f(x)
  1. Derivada de $ g(x) = x^2 |x| $:
Para derivar $ g(x) = x^2 |x| $, podemos reescrever $ |x| $ como $ x $ se $ x \geq 0 $ e $ -x $ se $ x < 0 $. Assim:
g(x)
Sabemos que:
f(x) = x^3
Portanto, para $ x \neq 0 $:
f'(x) = 3x^2

Passo 3

Agora que temos $ f(x) $, $ f’(x) $, $ g(x) $ e $ g’(x) $, podemos montar a matriz do Wronskiano. O Wronskiano é dado pelo determinante da seguinte matriz:
f(x)
Substituindo as funções:
f'(x)

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz $ 2 \times 2 $ $ 2 times 2 $ é calculado por $ ad - bc $.
Aplicando isso:
a & b c & d

Passo 5

Simplificando os termos:
W(f, g)(x) = 3x^4 |x| - 3x^4 |x| = 0
Isso significa que o Wronskiano é igual a zero para qualquer valor de $ x $.

Resposta

O Wronskiano das funções $ f(x) = x^3 $ e $ g(x) = x^2 |x| $ é zero.

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