Questão: Calcule o Wronskiano das seguintes funções: e .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o Wronskiano das funções $ f(x) = x^3 $ e $ g(x) = x^2 |x| $. O Wronskiano é uma ferramenta usada em cálculo para verificar se duas funções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas e montar a matriz do Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as derivadas das funções $ f(x) $ e $ g(x) $.
Derivada de $ f(x) = x^3 $:
Derivada de $ g(x) = x^2 |x| $:
Para derivar $ g(x) = x^2 |x| $, podemos reescrever $ |x| $ como $ x $ se $ x \geq 0 $ e $ -x $ se $ x < 0 $. Assim:
Sabemos que:
Portanto, para $ x \neq 0 $:
f'(x) = 3x^2
Passo 3
Agora que temos $ f(x) $, $ f’(x) $, $ g(x) $ e $ g’(x) $, podemos montar a matriz do Wronskiano. O Wronskiano é dado pelo determinante da seguinte matriz:
f(x)
Substituindo as funções:
f'(x)
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz $ 2 \times 2 $ $ 2 times 2 $ é calculado por $ ad - bc $.
Aplicando isso:
a & b c & d
Passo 5
Simplificando os termos:
W(f, g)(x) = 3x^4 |x| - 3x^4 |x| = 0
Isso significa que o Wronskiano é igual a zero para qualquer valor de $ x $.
Resposta
O Wronskiano das funções $ f(x) = x^3 $ e $ g(x) = x^2 |x| $ é zero.