Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=x cdot e^x cdot cosec x

Passo 1

Temos a função f(x)=x,e^x,cosecx. O conteúdo aqui é derivação de um produto de três funções, então vamos precisar usar a regra do produto para três fatores e conhecer as derivadas de e^x e de cosecx.

Passo 2

Seja u(x)=x, v(x)=e^x e w(x)=cosecx. Pela regra do produto para três funções,
f'(x)=u'(x),v(x),w(x)+u(x),v'(x),w(x)+u(x),v(x),w'(x)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
u'(x)=1,
v'(x)=e^x,
w'(x)=ddxl(cosecxr)=-cosecx,cot x.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=1cdot e^x,cosecx+xcdot e^x,cosecx+xcdot e^x,(-cosecx,cot x)

Passo 5

Fatorando e^x,cosecx:
f'(x)=e^x,cosecxl(1+x -xcot xr)

Resposta

f’(x)=e^x,\operatorname{cosec}x\bigl(1+x -x\cot x\bigr)

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