Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que
0 <= x <= 2,0 <= y <= x^22+1 e y >= x^2-1

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado quando uma região definida por certas desigualdades é girada em torno do eixo $ y $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes por rotação.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as curvas que delimitam a região a ser rotacionada. Temos duas funções:
  1. $ y \leq \frac{x^{2}}{2} + 1 $
  2. $ y \geq x^{2} - 1 $
Precisamos encontrar onde essas duas curvas se intersectam para saber os limites de integração.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
x^22 + 1 = x^2 - 1
Subtraindo $ \frac{x^{2}}{2} $ de ambos os lados:
x^22
Somando 1 a ambos os lados:
1 = x^22 - 1
Multiplicando ambos os lados por 2:
2 = x^22
Então, $ x = 2 $ ou $ x = -2 $. Como $ 0 \leq x \leq 2 $, consideramos apenas $ x = 2 $.

Passo 4

Para calcular o volume usando o método dos discos, precisamos expressar $ x $ em função de $ y $ para cada uma das curvas:
  1. Da primeira função $ y = \frac{x^{2}}{2} + 1 $:
x
  1. Da segunda função $ y = x^{2} - 1 $:
y

Passo 5

Agora, determinamos os limites de integração em relação a $ y $. Substituindo $ x = 0 $ nas duas equações:
  1. $ y = \frac{0^{2}}{2} + 1 = 1 $
  2. $ y = 0^{2} - 1 = -1 $
E para $ x = 2 $:
  1. $ y = \frac{2^{2}}{2} + 1 = 3 $
  2. $ y = 2^{2} - 1 = 3 $
Portanto, $ y $ varia de $ -1 $ a $ 3 $.

Passo 6

O volume $ V $ pode ser encontrado pela integral:
V
Simplificando as raízes quadradas:
V = pi integral-1^3 [ (raiz2(y - 1))^2 - (raizy + 1)^2 ] dy

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
2(y - 1) - (y + 1) = 2y - 2 - y - 1 = y - 3
Então, a integral fica:
V = pi integral-1^3 (y - 3) , dy

Passo 8

Calculando a integral:
V = pi [ y^22 - 3y ]-1^3
Substituindo os limites:
V = pi [ ( 3^22 - 3 times 3 ) - ( (-1)^22 - 3 times (-1) ) ]
V = pi [ ( 92 - 9 ) - ( 12 + 3 ) ]
V = pi [ ( -92 ) - ( 72 ) ] = pi ( -8 ) = -8pi
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
V = 8pi

Resposta

O volume do sólido é $ 8\pi $ unidades cúbicas.

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