Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado quando uma região definida por certas desigualdades é girada em torno do eixo $ y $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes por rotação.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as curvas que delimitam a região a ser rotacionada. Temos duas funções:
- $ y \leq \frac{x^{2}}{2} + 1 $
- $ y \geq x^{2} - 1 $
Precisamos encontrar onde essas duas curvas se intersectam para saber os limites de integração.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Subtraindo $ \frac{x^{2}}{2} $ de ambos os lados:
Somando 1 a ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Então, $ x = 2 $ ou $ x = -2 $. Como $ 0 \leq x \leq 2 $, consideramos apenas $ x = 2 $.
Passo 4
Para calcular o volume usando o método dos discos, precisamos expressar $ x $ em função de $ y $ para cada uma das curvas:
- Da primeira função $ y = \frac{x^{2}}{2} + 1 $:
- Da segunda função $ y = x^{2} - 1 $:
Passo 5
Agora, determinamos os limites de integração em relação a $ y $. Substituindo $ x = 0 $ nas duas equações:
- $ y = \frac{0^{2}}{2} + 1 = 1 $
- $ y = 0^{2} - 1 = -1 $
E para $ x = 2 $:
- $ y = \frac{2^{2}}{2} + 1 = 3 $
- $ y = 2^{2} - 1 = 3 $
Portanto, $ y $ varia de $ -1 $ a $ 3 $.
Passo 6
O volume $ V $ pode ser encontrado pela integral:
Simplificando as raízes quadradas:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido é $ 8\pi $ unidades cúbicas.