Justifique as seguintes condições:
  • Toda a equação diferencial ordinária linear pode ser transformada em uma EDO exata? Se sim, justifique sua resposta. Caso contrario, exiba um contra-exemplo.
  • A equação diferencial ordinária separável é exata? E a recíproca? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas perguntas sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs). Primeiro, queremos saber se toda equação diferencial linear pode virar uma EDO exata. Depois, vamos ver se EDOs separáveis são exatas e se a conversa também é verdadeira. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são EDOs lineares, exatas e separáveis. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO linear. Uma EDO linear tem a forma geral:
dydx + P(x)y = Q(x)
Aqui, P(x) e Q(x) são funções de x . Agora, uma EDO exata é uma equação que pode ser escrita na forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 onde existe uma função F(x, y) tal que partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N .

Passo 3

Vamos ver se toda EDO linear pode ser transformada em uma EDO exata. Para isso, vamos tentar reescrever a EDO linear na forma exata. A EDO linear pode ser escrita como:
dydx + P(x)y = Q(x)
Multiplicando ambos os lados por um fator integrante mu(x) , que é e^integral P(x)dx , a equação fica:
mu(x)dydx + mu(x)P(x)y = mu(x)Q(x)
Isso pode ser reescrito como:
ddx[mu(x)y] = mu(x)Q(x)
Integrando ambos os lados, encontramos mu(x)y = integral mu(x)Q(x)dx + C , o que resolve a EDO linear. Porém, isso não necessariamente a transforma em uma EDO exata no sentido estrito da definição de EDO exata.

Passo 4

Para dar um contra-exemplo, consideremos a EDO linear homogênea:
dydx + P(x)y = 0
Se essa equação fosse exata, existiria uma função F(x, y) tal que M = mu(x) e N = mu(x)P(x) . Porém, a condição de exatidão exige que partial Mpartial y = partial Npartial x . Para essa equação, M não depende de y , então partial Mpartial y = 0 , mas partial Npartial x = mu'(x)P(x) + mu(x)P'(x) , que geralmente não é zero. Portanto, nem toda EDO linear pode ser transformada em uma EDO exata.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: A EDO separável é exata? E a recíproca?
Uma EDO separável pode ser escrita como g(y)dy = f(x)dx , onde as variáveis estão separadas. Isso pode ser reescrito como -f(x)dx + g(y)dy = 0 , que tem a forma de uma EDO exata se existir uma função F(x, y) tal que partial Fpartial x = -f(x) e partial Fpartial y = g(y) . De fato, para EDOs separáveis, podemos encontrar facilmente essa função F(x, y) = -integral f(x)dx + integral g(y)dy , o que confirma que toda EDO separável é exata.

Passo 6

Quanto à recíproca: Nem toda EDO exata é separável. A condição de exatidão é mais geral e permite que as funções M(x, y) e N(x, y) dependam de ambas as variáveis de forma que a equação não possa ser separada facilmente. Por exemplo, considere a EDO (2xy)dx + (x^2 + e^y)dy = 0 . Ela é exata, pois partialpartial y(2xy) = 2x e partialpartial x(x^2 + e^y) = 2x , mas não é separável porque não conseguimos separar as variáveis x e y de maneira simples.

Resposta

Nem toda equação diferencial linear pode ser transformada em uma EDO exata, como mostra o contra-exemplo da EDO linear homogênea. Entretanto, toda EDO separável é exata, mas nem toda EDO exata é separável.

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