Justifique as seguintes condições:
- Toda a equação diferencial ordinária linear pode ser transformada em uma EDO exata? Se sim, justifique sua resposta. Caso contrario, exiba um contra-exemplo.
- A equação diferencial ordinária separável é exata? E a recíproca? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas perguntas sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs). Primeiro, queremos saber se toda equação diferencial linear pode virar uma EDO exata. Depois, vamos ver se EDOs separáveis são exatas e se a conversa também é verdadeira. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são EDOs lineares, exatas e separáveis. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO linear. Uma EDO linear tem a forma geral:
Aqui,
e
são funções de
. Agora, uma EDO exata é uma equação que pode ser escrita na forma
onde existe uma função
tal que
e
.
Passo 3
Vamos ver se toda EDO linear pode ser transformada em uma EDO exata. Para isso, vamos tentar reescrever a EDO linear na forma exata. A EDO linear pode ser escrita como:
Multiplicando ambos os lados por um fator integrante
, que é
, a equação fica:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados, encontramos
, o que resolve a EDO linear. Porém, isso não necessariamente a transforma em uma EDO exata no sentido estrito da definição de EDO exata.
Passo 4
Para dar um contra-exemplo, consideremos a EDO linear homogênea:
Se essa equação fosse exata, existiria uma função
tal que
e
. Porém, a condição de exatidão exige que
. Para essa equação,
não depende de
, então
, mas
, que geralmente não é zero. Portanto, nem toda EDO linear pode ser transformada em uma EDO exata.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: A EDO separável é exata? E a recíproca?
Uma EDO separável pode ser escrita como
, onde as variáveis estão separadas. Isso pode ser reescrito como
, que tem a forma de uma EDO exata se existir uma função
tal que
e
. De fato, para EDOs separáveis, podemos encontrar facilmente essa função
, o que confirma que toda EDO separável é exata.
Passo 6
Quanto à recíproca: Nem toda EDO exata é separável. A condição de exatidão é mais geral e permite que as funções
e
dependam de ambas as variáveis de forma que a equação não possa ser separada facilmente. Por exemplo, considere a EDO
. Ela é exata, pois
e
, mas não é separável porque não conseguimos separar as variáveis
e
de maneira simples.
Resposta
Nem toda equação diferencial linear pode ser transformada em uma EDO exata, como mostra o contra-exemplo da EDO linear homogênea. Entretanto, toda EDO separável é exata, mas nem toda EDO exata é separável.