Derive cada uma das funções dadas abaixo.
y=sen^2(x) / cos (x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função y = sen^2(x)cos(x). Vamos usar derivadas de funções trigonométricas com regra do quociente e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u(x) = sen^2(x) e v(x) = cos(x). A regra do quociente diz que
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais. Pela regra da cadeia:
u'(x) = 2,sen(x),cos(x)
e
v'(x) = -sen(x).

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente, temos:
y' = 2,sen(x),cos(x),cos(x) - sen^2(x),(-sen(x))cos^2(x) = 2,sen(x),cos^2(x) + sen^3(x)cos^2(x)

Passo 5

No numerador, fatoramos sen(x):
2,sen(x),cos^2(x) + sen^3(x) = sen(x)[2,cos^2(x) + sen^2(x)]
Usando cos^2(x)=1-sen^2(x),
2(1-sen^2(x))+sen^2(x)=2-sen^2(x),
logo o numerador fica sen(x)(2-sen^2(x)).

Passo 6

Portanto a derivada final é
y' = sen(x),(2 - sen^2(x))cos^2(x)

Resposta

y' = sen(x),(2 - sen^2(x))cos^2(x)

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