Derive cada uma das funções dadas abaixo.
y=x^x

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y = x^x. O conteúdo envolve diferenciação de uma função em que a variável aparece tanto na base quanto no expoente, então vamos usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Aplicar logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência. Assim, escrevemos
ln y = lnl(x^xr) = xln x

Passo 3

Diferenciar implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, ddx(ln y)=1yy'. No lado direito, aplicamos a regra do produto em xln x:
1yy' = 1cdotln x + xcdot1x = ln x + 1

Passo 4

Isolar y' multiplicando ambos os lados por y. Lembrando que y = x^x, obtemos
y' = yl(ln x + 1r) = x^xl(ln x + 1r)

Resposta

A derivada é y' = x^xl(ln x + 1r).

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