Derive cada uma das funções dadas abaixo.
y=tg^2(3 theta)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y=tan^2(3theta). O conteúdo principal é a regra da cadeia, além das derivadas conhecidas de potência e da função tangente.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, vamos reescrever a função como composição de duas funções: defina
u(theta)=3theta
e
y(u)=tan^2(u)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em dois níveis:
  1. Derivada de y em relação a u: como y(u)=[tan(u)]^2,
dydu=2,tan(u)cdotddul(tan(u)r)=2,tan(u)cdotsec^2(u)
  1. Derivada de u em relação a theta:
dudtheta=3

Passo 4

Multiplicando pelas duas derivadas (regra da cadeia completa), obtemos
dydtheta=dyducdotdudtheta=2,tan(u)cdotsec^2(u)cdot3

Passo 5

Por fim, substituindo u=3theta e simplificando o fator 2·3, chega-se a
dydtheta=6,tan(3theta),sec^2(3theta)

Resposta

y'=6,tan(3theta),sec^2(3theta)

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