Derive cada identidade trigonométrica para obter uma nova identidade (familiar)
sec x=1cos x

Passo 1

O enunciado nos dá a identidade trigonométrica
sec x = 1cos x
e pede para dela “derivar” (no sentido de cálculo) uma nova identidade conhecida, que é a fórmula da derivada de sec x. Para isso vamos usar:
  • a regra da derivada de u^-1, que diz ddxl(u(x)^-1r) = -,u'(x)[u(x)]^2,
  • e a derivada de cos x, que é l(cos xr)'=-sin x.

Passo 2

Começamos escrevendo
sec x = 1cos x
Agora vamos diferenciar ambos os lados em relação a x:
ddxl[sec xr] ;=;ddx![1cos x]

Passo 3

Aplicando a regra de u^-1 ao lado direito, com u(x)=cos x, temos
ddx![1cos x] = -,(cos x)'(cos x)^2 = -,-sin xcos^2 x = sin xcos^2 x

Passo 4

Para chegar à forma mais familiar, note que
sin xcos^2 x = sin xcos x;cdot;1cos x = tan x ,sec x
Logo, a derivada de sec x é
ddxl[sec xr] = sec x,tan x

Resposta

boxedl(sec xr)' = sec x,tan x

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