Derive f(x)=ln (cos ^2(x)+1), x in R.
a. f^prime(x)=-2 cos (x) sen(x)cos ^2(x)+1
b. f^prime(x)=1cos ^2(x)+1
c. f^prime(x)=2 cos (x)cos ^2(x)+1
  • d. f^prime(x)=12 cos (x) sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de derivada da função . Aqui, a gente está trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a regra da cadeia e derivadas de funções logarítmicas e trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar o logaritmo natural e como aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função logarítmica. No nosso caso, a função dentro do logaritmo é f'(x) = u'(x)u(x) . Para derivar , usamos a regra da cadeia, que diz que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de u'(x) = 2cos(x) cdot (-sen(x)) = -2cos(x)sen(x) . A derivada de uma constante como 1 é zero, então precisamos apenas derivar . Usando a regra da potência combinada com a regra da cadeia:

Passo 4

Com f'(x) = -2cos(x)sen(x)cos^2(x) + 1 encontrado, substituímos na fórmula da regra da cadeia:

Resposta

A derivada de f^prime(x) = -2 cos(x) sen(x)cos^2(x) + 1 é:
Portanto, a alternativa correta é a letra a.

Exercícios relacionados