Sendo
, estime
com 4 termos e calcule o erro. Faça por serie de taylor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimarmos o valor de $ e^{2} $ usando 4 termos da série de Taylor e calcular o erro dessa aproximação. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Taylor, que nos ajudam a aproximar funções suaves usando polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para a função $ e^{x} $ em torno de $ x = 0 $. A série de Taylor de $ e^{x} $ é dada por:
Aqui, $ n! $ representa o fatorial de $ n $.
Passo 3
Como queremos estimar $ e^{2} $, vamos substituir $ x = 2 $ na série e usar apenas os primeiros 4 termos:
Vamos calcular cada termo:
- Termo 0: $ 1 $
- Termo 1: $ 2 $
- Termo 2: $ \frac{4}{2} = 2 $
- Termo 3: $ \frac{8}{6} \approx 1,3333 $
Somando esses termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor real de $ e^{2} $ usando uma calculadora:
Passo 5
Para encontrar o erro da nossa estimativa, subtraímos o valor aproximado do valor real:
Resposta
Usando 4 termos da série de Taylor, a estimativa de $ e^{2} $ é aproximadamente 6,3333 e o erro dessa aproximação é de 1,0558.