Sendo e^0=1, estime e^2 com 4 termos e calcule o erro. Faça por serie de taylor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimarmos o valor de $ e^{2} $ usando 4 termos da série de Taylor e calcular o erro dessa aproximação. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Taylor, que nos ajudam a aproximar funções suaves usando polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor para a função $ e^{x} $ em torno de $ x = 0 $. A série de Taylor de $ e^{x} $ é dada por:
e^x
Aqui, $ n! $ representa o fatorial de $ n $.

Passo 3

Como queremos estimar $ e^{2} $, vamos substituir $ x = 2 $ na série e usar apenas os primeiros 4 termos:
e^2
Vamos calcular cada termo:
  1. Termo 0: $ 1 $
  2. Termo 1: $ 2 $
  3. Termo 2: $ \frac{4}{2} = 2 $
  4. Termo 3: $ \frac{8}{6} \approx 1,3333 $
Somando esses termos:
x = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor real de $ e^{2} $ usando uma calculadora:
e^2

Passo 5

Para encontrar o erro da nossa estimativa, subtraímos o valor aproximado do valor real:
Erro = e^2 - Estimativa approx 7,3891 - 6,3333 = 1,0558

Resposta

Usando 4 termos da série de Taylor, a estimativa de $ e^{2} $ é aproximadamente 6,3333 e o erro dessa aproximação é de 1,0558.

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