Seja o ponto P=(2,1,3) e considere a reta r definida por
r:\left\{\begin{array}{l} x=3 t \\\ y=t \\\ z=2 t \end{array}\right.

Determine o ponto de r que se encontra mais próximo de P.

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(2,1,3)\) e a reta \[r:\begin{cases} x=3t,\\\ y=t,\\\ z=2t, \end{cases}
que tem vetor diretor \mathbf d=(3,1,2)\]. Queremos o ponto em \(r que minimiza a distância até P; geometricamente é o pé da perpendicular de P em r. Para achar isso, introduzimos um parâmetro t e minimizamos a função distância ao quadrado.

Passo 2

Escolhemos um ponto genérico Q(t) em r:
Q(t) = (3t,\,t,\,2t).
A distância ao quadrado de Q(t) a P é
D^2(t) = (3t-2)^2 + (t-1)^2 + (2t-3)^2.

Passo 3

Expandimos e somamos os termos para obter um polinômio em t:
D^2(t) = (9t^2 -12t +4) + (t^2 -2t +1) + (4t^2 -12t +9) = 14t^2 -26t +14.

Passo 4

Para minimizar D^2(t), derivamos em relação a t e igualamos a zero:
\frac{d}{dt}D^2(t) = 28t -26 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}.

Passo 5

Substituímos t=\tfrac{13}{14} em Q(t):
x = 3\cdot \frac{13}{14} = \frac{39}{14},\quad y = \frac{13}{14},\quad z = 2\cdot \frac{13}{14} = \frac{26}{14} = \frac{13}{7}.

Resposta

O ponto de r mais próximo de P é
\bigl(\tfrac{39}{14},\,\tfrac{13}{14},\,\tfrac{13}{7}\bigr).

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