Seja o ponto P=(2,1,3) e considere a reta r definida por
r:\left\{\begin{array}{l} x=3 t \\\ y=t \\\ z=2 t \end{array}\right.
Determine o ponto de r que se encontra mais próximo de P.
Passo 1
O enunciado dá o ponto P=(2,1,3)\) e a reta
\[r:\begin{cases} x=3t,\\\ y=t,\\\ z=2t, \end{cases}
que tem vetor diretor \mathbf d=(3,1,2)\]. Queremos o ponto em \(r que minimiza a distância até P; geometricamente é o pé da perpendicular de P em r. Para achar isso, introduzimos um parâmetro t e minimizamos a função distância ao quadrado.
Passo 2
Escolhemos um ponto genérico Q(t) em r:
Q(t) = (3t,\,t,\,2t).
A distância ao quadrado de Q(t) a P é
D^2(t) = (3t-2)^2 + (t-1)^2 + (2t-3)^2.
Passo 3
Expandimos e somamos os termos para obter um polinômio em t: