Derive, pela definição, cada uma das funções trigonométricas abaixo:
f(x)=cossec(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=cossec(x) usando a definição de derivada. O conteúdo é derivação de função trigonométrica pela definição f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e limites clássicos como limuto0sin uu=1.

Passo 2

Para simplificar a notação, escrevemos f(x)=cossec(x)=1sin x. Assim, pela definição de derivada temos
f'(x)=limhto01sin(x+h)-1sin xh

Passo 3

Juntamos as frações no numerador:
1sin(x+h)-1sin x=sin x-sin(x+h)sin(x+h)sin x,
de modo que
f'(x)=limhto0sin x-sin(x+h)h,sin(x+h)sin x

Passo 4

Usamos a identidade de diferença de senos:
sin(x+h)-sin x=2cosl(x+tfrac h2r)sinl(tfrac h2r)
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sin x-sin(x+h)=-2cosl(x+tfrac h2r)sinl(tfrac h2r)

Passo 5

Substituindo, fica
f'(x)=limhto0-2cosl(x+tfrac h2r)sinl(tfrac h2r)h,sin(x+h)sin x
Agora separamos o fator envolvendo h:
f'(x)=limhto0gl[-2cosl(x+tfrac h2r)sin(x+h)sin xgr]cdotsin(tfrac h2)h

Passo 6

Reescrevemos sin(tfrac h2)h=sin(tfrac h2)(h/2)cdot12. Ao aplicar limites:
  • cos(x+tfrac h2)tocos x
  • sin(x+h)tosin x
  • sin(tfrac h2)(h/2)to1
Isso dá
f'(x)=(-2)cdot12cdotcos xsin xsin x=-cos xsin^2 x

Resposta

-,cossec(x)cot(x)

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