Derive, pela definição, cada uma das funções trigonométricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para derivar, pela definição de derivada, a função
. Vamos aplicar o conceito de derivada como limite do quociente incremental e usar identidades trigonométricas.
Passo 2
Pela definição de derivada, escrevemos
Passo 3
Como
, fazemos a diferença de frações:
Passo 4
Para o numerador usamos a identidade
Com
e
, obtemos
Passo 5
Substituindo no quociente incremental:
Reescrevemos como produto de limites:
Passo 6
Observando que
e que
por continuidade, concluímos:
Passo 7
Finalmente, escrevendo em função de secante e tangente, temos