Derive, pela definição, cada uma das funções trigonométricas abaixo:
f(x)=sec (x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar, pela definição de derivada, a função f(x)=sec(x). Vamos aplicar o conceito de derivada como limite do quociente incremental e usar identidades trigonométricas.

Passo 2

Pela definição de derivada, escrevemos
f'(x)=limhto0sec(x+h)-sec(x)h

Passo 3

Como sec(u)=1/cos(u), fazemos a diferença de frações:
sec(x+h)-sec(x)h=1cos(x+h)-1cos(x)h =cos(x)-cos(x+h)h,cos(x),cos(x+h)

Passo 4

Para o numerador usamos a identidade
cos A-cos B=-2sinl(tfracA+B2r)sinl(tfracA-B2r)
Com A=x e B=x+h, obtemos
cos(x)-cos(x+h)=2sinl(x+tfrach2r)sinl(tfrach2r)

Passo 5

Substituindo no quociente incremental:
f'(x)=limhto02sinl(x+h2r)sinl(h2r)h,cos(x),cos(x+h)
Reescrevemos como produto de limites:
f'(x)=limhto0sinl(x+tfrach2r)cos(x),cos(x+h)cdot2sin(tfrach2)h

Passo 6

Observando que
limhto0sin(tfrach2)tfrach2=1
e que cos(x+h)tocos(x) por continuidade, concluímos:
f'(x)=sin xcos^2 x

Passo 7

Finalmente, escrevendo em função de secante e tangente, temos
f'(x)=sec(x)tan(x)

Resposta

f'(x)=sec(x)tan(x)

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