Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar que a integral de
em relação a
é igual a
mais
vezes a integral de
em relação a
. Isso envolve o uso de técnicas de integração, especificamente a integração por partes. Vamos ver como aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos o produto de duas funções na integral. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral
serão
e
. Uma boa estratégia é separar a potência de
para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos reescrever a integral de
de uma forma que possamos aplicar a integração por partes:
Sabemos que
, mas aqui vamos manter
para facilitar a integração por partes.
Passo 4
Agora, vamos definir:
Então, precisamos encontrar
e
. Calculando as derivadas e integrais:
- Derivada de
: - Integral de
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos simplificar a integral que ficou. Sabemos que
, então substituímos:
Distribuindo o
:
Passo 7
Agora, vamos isolar a integral de
. Adicionando
em ambos os lados:
Somando as integrais do lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, isolamos a integral de
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Assim, verificamos que: