Verifique que integral sec ^n(x) d x=1n-1 sec ^n-2 x tg(x)+n-2n-1 integral sec ^n-2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar que a integral de sec^n(x) em relação a x é igual a 1n-1 sec^n-2(x) tan(x) mais n-2n-1 vezes a integral de sec^n-2(x) em relação a x. Isso envolve o uso de técnicas de integração, especificamente a integração por partes. Vamos ver como aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos o produto de duas funções na integral. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral sec^n(x) serão u e dv. Uma boa estratégia é separar a potência de sec(x) para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos reescrever a integral de sec^n(x) de uma forma que possamos aplicar a integração por partes:
integral sec^n(x) , dx = integral sec^n-2(x) cdot sec^2(x) , dx
Sabemos que sec^2(x) = 1 + tan^2(x), mas aqui vamos manter sec^2(x) para facilitar a integração por partes.

Passo 4

Agora, vamos definir:
  • u = sec^n-2(x)
  • dv = sec^2(x) , dx
Então, precisamos encontrar du e v. Calculando as derivadas e integrais:
  • Derivada de u: du = (n-2) sec^n-3(x) cdot sec(x) tan(x) , dx = (n-2) sec^n-2(x) tan(x) , dx
  • Integral de dv: v = tan(x)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral sec^n-2(x) cdot sec^2(x) , dx = sec^n-2(x) tan(x) - integral tan(x) cdot (n-2) sec^n-2(x) tan(x) , dx
Simplificando:
integral sec^n(x) , dx = sec^n-2(x) tan(x) - (n-2) integral sec^n-2(x) tan^2(x) , dx

Passo 6

Vamos simplificar a integral que ficou. Sabemos que tan^2(x) = sec^2(x) - 1, então substituímos:
integral sec^n(x) , dx = sec^n-2(x) tan(x) - (n-2) integral sec^n-2(x) (sec^2(x) - 1) , dx
Distribuindo o (n-2):
integral sec^n(x) , dx = sec^n-2(x) tan(x) - (n-2) integral sec^n(x) , dx + (n-2) integral sec^n-2(x) , dx

Passo 7

Agora, vamos isolar a integral de sec^n(x). Adicionando (n-2) integral sec^n(x) , dx em ambos os lados:
integral sec^n(x) , dx + (n-2) integral sec^n(x) , dx = sec^n-2(x) tan(x) + (n-2) integral sec^n-2(x) , dx
Somando as integrais do lado esquerdo:
(n-1) integral sec^n(x) , dx = sec^n-2(x) tan(x) + (n-2) integral sec^n-2(x) , dx

Passo 8

Finalmente, isolamos a integral de sec^n(x) dividindo ambos os lados por (n-1):
integral sec^n(x) , dx = 1n-1 sec^n-2(x) tan(x) + n-2n-1 integral sec^n-2(x) , dx

Resposta

Assim, verificamos que:
integral sec^n(x) , dx = 1n-1 sec^n-2(x) tan(x) + n-2n-1 integral sec^n-2(x) , dx

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