Derive, pela definição, cada uma das funções trigonométricas abaixo:
f(x)=tan (x)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que derivar a função trigonométrica f(x) = tan(x) usando a definição de derivada. Pra isso, vamos precisar entender o que é a derivada e como aplicar a definição de limite para encontrar a derivada da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função f(x) em um ponto x é dada por:
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Isso significa que a derivada mede a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função f(x) = tan(x). Substituindo na fórmula, temos:
f'(x) = limh to 0 tan(x + h) - tan(x)h

Passo 4

Para simplificar a expressão tan(x + h) - tan(x), vamos usar a identidade trigonométrica para a tangente da soma de dois ângulos:
tan(a + b) = tan(a) + tan(b)1 - tan(a)tan(b)
Aplicando essa identidade com a = x e b = h, temos:
tan(x + h) = tan(x) + tan(h)1 - tan(x)tan(h)

Passo 5

Substituindo essa expressão na nossa derivada, ficamos com:
f'(x) = limh to 0 tan(x) + tan(h)1 - tan(x)tan(h) - tan(x)h
Vamos simplificar essa fração:
f'(x) = limh to 0 tan(x) + tan(h) - tan(x)(1 - tan(x)tan(h))h(1 - tan(x)tan(h))
Simplificando o numerador:
= limh to 0 tan(h) + tan^2(x)tan(h)h(1 - tan(x)tan(h))
Fatorando tan(h) no numerador:
= limh to 0 tan(h)(1 + tan^2(x))h(1 - tan(x)tan(h))

Passo 6

Agora, separamos os limites:
f'(x) = (1 + tan^2(x)) cdot limh to 0 tan(h)h cdot limh to 0 11 - tan(x)tan(h)
Sabemos que:
limh to 0 tan(h)h = 1
E:
limh to 0 11 - tan(x)tan(h) = 11 - tan(x) cdot 0 = 1
Portanto:
f'(x) = 1 + tan^2(x)

Passo 7

Por fim, lembrando que 1 + tan^2(x) = sec^2(x) (essa é uma identidade trigonométrica básica), temos:
f'(x) = sec^2(x)

Resposta

A derivada de tan(x) é sec^2(x).

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