Derive, pela definição, cada uma das funções trigonométricas abaixo:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que derivar a função trigonométrica
usando a definição de derivada. Pra isso, vamos precisar entender o que é a derivada e como aplicar a definição de limite para encontrar a derivada da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que a derivada mede a taxa de variação da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Para simplificar a expressão
, vamos usar a identidade trigonométrica para a tangente da soma de dois ângulos:
Aplicando essa identidade com
e
, temos:
Passo 5
Substituindo essa expressão na nossa derivada, ficamos com:
Vamos simplificar essa fração:
Simplificando o numerador:
Fatorando
no numerador:
Passo 6
Agora, separamos os limites:
Sabemos que:
E:
Portanto:
Passo 7
Por fim, lembrando que
(essa é uma identidade trigonométrica básica), temos:
Resposta
A derivada de
é
.