A equação diferencial
é chamada equação de Riccati.
Mostre que, se
, a equação é linear, é se
, a equação é uma equação de Bernoulli.
Mostre que, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada de Riccati, que é:
O objetivo aqui é mostrar duas coisas:
- Se $ A(x) $ for sempre igual a zero ($ A(x) \equiv 0 $), a equação vira uma equação linear.
- Se $ C(x) $ for sempre igual a zero ($ C(x) \equiv 0 $), a equação se transforma em uma equação de Bernoulli.
Vamos precisar entender o que são equações lineares e de Bernoulli para fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando $ A(x) \equiv 0 $. Substituindo isso na equação de Riccati:
Essa equação ficou mais simples. Agora, temos:
O que a gente tem aqui é uma equação na forma:
Essa é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Então, quando $ A(x) \equiv 0 $, a equação original vira uma equação linear.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso onde $ C(x) \equiv 0 $. Substituindo isso na equação de Riccati:
Podemos fatorar $ y $:
Vamos reescrever para dar uma ideia de forma de Bernoulli. A equação de Bernoulli tem a forma:
No nosso caso, rearranjando:
Aqui, $ n = 2 $, então a equação está na forma de Bernoulli, com $ C(x) \equiv 0 $.
Resposta
Quando $ A(x) \equiv 0 $, a equação de Riccati se torna uma equação diferencial linear, e quando $ C(x) \equiv 0 $, ela se transforma em uma equação de Bernoulli.