A equação diferencial
d yd x=A(x) y^2+B(x) y+C(x)
é chamada equação de Riccati.
Mostre que, se A(x) equiv 0, a equação é linear, é se C(x) equiv 0, a equação é uma equação de Bernoulli.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada de Riccati, que é:
dydx = A(x) y^2 + B(x) y + C(x)
O objetivo aqui é mostrar duas coisas:
  1. Se $ A(x) $ for sempre igual a zero ($ A(x) \equiv 0 $), a equação vira uma equação linear.
  2. Se $ C(x) $ for sempre igual a zero ($ C(x) \equiv 0 $), a equação se transforma em uma equação de Bernoulli.
Vamos precisar entender o que são equações lineares e de Bernoulli para fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando $ A(x) \equiv 0 $. Substituindo isso na equação de Riccati:
A(x) equiv 0
Essa equação ficou mais simples. Agora, temos:
dydx = 0 cdot y^2 + B(x) y + C(x) dydx = B(x) y + C(x)
O que a gente tem aqui é uma equação na forma:
dydx + (-B(x)) y = C(x)
Essa é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Então, quando $ A(x) \equiv 0 $, a equação original vira uma equação linear.

Passo 3

Agora, vamos analisar o caso onde $ C(x) \equiv 0 $. Substituindo isso na equação de Riccati:
C(x) equiv 0
Podemos fatorar $ y $:
dydx = A(x) y^2 + B(x) y + 0 dydx = A(x) y^2 + B(x) y
Vamos reescrever para dar uma ideia de forma de Bernoulli. A equação de Bernoulli tem a forma:
y
No nosso caso, rearranjando:
dydx = y ( A(x) y + B(x) )
Aqui, $ n = 2 $, então a equação está na forma de Bernoulli, com $ C(x) \equiv 0 $.

Resposta

Quando $ A(x) \equiv 0 $, a equação de Riccati se torna uma equação diferencial linear, e quando $ C(x) \equiv 0 $, ela se transforma em uma equação de Bernoulli.

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