Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
d rd theta+r tg theta=cos theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação
d rd theta + r tg theta = cos theta
Estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para $ r $ em função de $ \theta $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
d rd theta + P(theta) , r = Q(theta)
Aqui, temos:
  • $ P(\theta) = \operatorname{tg} \theta $
  • $ Q(\theta) = \cos \theta $

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos em toda a equação para torná-la exata e facilitar a resolução. O fator integrante $ \mu(\theta) $ é dado por:
mu(theta)
Vamos calcular essa integral:
mu(theta) = e^integral P(theta) , dtheta
Sabemos que a integral de $ \operatorname{tg} \theta $ é $ \ln|\sec \theta| $, então:
mu(theta) = e^integral tg theta , dtheta

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(\theta) = \sec \theta $:
mu(theta) = sec theta
Simplificando o lado direito:
sec theta cdot d rd theta + sec theta cdot tg theta cdot r = sec theta cdot cos theta

Passo 5

A equação agora fica:
sec theta cdot d rd theta + sec theta cdot tg theta cdot r = 1
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto $ \mu(\theta) \cdot r $. Ou seja:
mu(theta) cdot r

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a $ \theta $:
theta
Isso nos dá:
integral dd theta (sec theta cdot r) , dtheta = integral 1 , dtheta
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos $ r $ para encontrar a solução geral:
r

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
r(theta) = cos theta cdot (theta + C)
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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