Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação
Estamos trabalhando com uma equação diferencial de primeira ordem linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para $ r $ em função de $ \theta $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
Aqui, temos:
- $ P(\theta) = \operatorname{tg} \theta $
- $ Q(\theta) = \cos \theta $
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos em toda a equação para torná-la exata e facilitar a resolução. O fator integrante $ \mu(\theta) $ é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que a integral de $ \operatorname{tg} \theta $ é $ \ln|\sec \theta| $, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(\theta) = \sec \theta $:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A equação agora fica:
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto $ \mu(\theta) \cdot r $. Ou seja:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a $ \theta $:
Isso nos dá:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos $ r $ para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.