Mostre que as seguintes equações diferenciais são homogêneas cdot e resol-va-as.
(x+y) d x-x d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a equação diferencial (x + y) dx - x dy = 0 é homogênea e depois resolvê-la. Estamos tratando de equações diferenciais homogêneas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como fazer a substituição adequada para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos puderem ser expressos como funções homogêneas do mesmo grau. Ou seja, se ao multiplicarmos x e y por um fator k, os termos da equação também são multiplicados por k^n, onde n é o grau da função.

Passo 3

Vamos analisar cada termo da equação (x + y) dx - x dy = 0:
  • x + y é uma função de primeiro grau, já que tanto x quanto y são de grau 1.
  • x também é de primeiro grau.
Como todos os termos são de mesmo grau (grau 1), a equação é homogênea.

Passo 4

Agora que confirmamos que a equação é homogênea, podemos usar a substituição v = yx. Isso ajuda a transformar a equação em uma equação separável, facilitando a resolução.
Primeiro, expressamos y em termos de v:
y = v x
Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dydx = v + x dvdx

Passo 5

Vamos substituir y = v x e dydx = v + x dvdx na equação original:
Original:
(x + y) dx - x dy = 0
Substituindo:
(x + v x) dx - x (v + x dvdx) dx = 0
x(1 + v) dx - x v dx - x^2 dvdx dx = 0
Simplificando:
x(1 + v - v) dx - x^2 dvdx dx = 0
x dx - x^2 dvdx dx = 0
Dividindo ambos os lados por x^2:
1x dx = dvdx

Passo 6

Agora temos uma equação separável:
dvdx = 1x
Integrando ambos os lados:
integral dv = integral 1x dx
v = ln|x| + C
Lembrando que v = yx, substituímos de volta:
yx = ln|x| + C
y = x ln|x| + Cx

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x ln|x| + Cx

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