Mostre que as seguintes equações diferenciais são homogêneas
resol-va-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a equação diferencial
é homogênea e depois resolvê-la. Estamos tratando de equações diferenciais homogêneas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como fazer a substituição adequada para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos puderem ser expressos como funções homogêneas do mesmo grau. Ou seja, se ao multiplicarmos
e
por um fator
, os termos da equação também são multiplicados por
, onde
é o grau da função.
Passo 3
Vamos analisar cada termo da equação
:
-
é uma função de primeiro grau, já que tanto quanto são de grau 1. -
também é de primeiro grau.
Como todos os termos são de mesmo grau (grau 1), a equação é homogênea.
Passo 4
Agora que confirmamos que a equação é homogênea, podemos usar a substituição
. Isso ajuda a transformar a equação em uma equação separável, facilitando a resolução.
Primeiro, expressamos
em termos de
:
Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação original:
Original:
Substituindo:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Agora temos uma equação separável:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: