Derive a equação de movimento para um escoamento compressível unidimensional, não viscoso e não permanente em um tubo de área de seção transversal constante, desconsiderando a gravidade.

Passo 1

O enunciado pede a equação de movimento para um escoamento unidimensional compressível, não viscoso (inviscid), não permanente e em tubo de seção constante, desprezando a gravidade. Vamos usar a segunda lei de Newton aplicada a um elemento de fluido e a definição de derivada material.

Passo 2

Considere um elemento de fluido de comprimento dx e área de seção transversal constante A. A massa desse elemento é
m = rho,A,dx
onde rho é a densidade do fluido, que pode variar no espaço e no tempo.

Passo 3

Na face esquerda do elemento a pressão é p e exerce força para a direita de magnitude p,A.
Na face direita a pressão é p + partial ppartial x,dx e exerce força para a esquerda de magnitude l(p + partial ppartial x,dxr)A.
Logo, a força resultante no elemento é
F = p,A ;-;l(p + partial ppartial x,dxr)A = -,A,partial ppartial x,dx

Passo 4

Pela segunda lei de Newton temos sum F = m,a, em que a aceleração a é a derivada material da velocidade u:
m,DuDt ;=;-,A,partial ppartial x,dx
Substituindo m = rho,A,dx, obtemos
rho,A,dx;DuDt = -,A,partial ppartial x,dx
Cancelando A,dx, chega-se a
rho,DuDt = -,partial ppartial x

Passo 5

Lembrando que a derivada material em escoamento unidimensional é
DuDt = partial upartial t ;+; u,partial upartial x,
substituímos na equação anterior.

Passo 6

Substituindo e dividindo por rho, obtemos a forma final da equação de movimento (Euler) para escoamento unidimensional, compressível, não viscoso e não permanente:
partial upartial t ;+; u,partial upartial x ;+;1rho,partial ppartial x =0

Resposta

partial upartial t + u,partial upartial x + 1rho,partial ppartial x = 0

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