Derive a equação de movimento para um escoamento compressível unidimensional, não viscoso e não permanente em um tubo de área de seção transversal constante, desconsiderando a gravidade.
Passo 1
O enunciado pede a equação de movimento para um escoamento unidimensional compressível, não viscoso (inviscid), não permanente e em tubo de seção constante, desprezando a gravidade. Vamos usar a segunda lei de Newton aplicada a um elemento de fluido e a definição de derivada material.
Passo 2
Considere um elemento de fluido de comprimento
e área de seção transversal constante
. A massa desse elemento é
onde
é a densidade do fluido, que pode variar no espaço e no tempo.
Passo 3
Na face esquerda do elemento a pressão é
e exerce força para a direita de magnitude
.
Na face direita a pressão é e exerce força para a esquerda de magnitude
.
Logo, a força resultante no elemento é
Na face direita a pressão é
Logo, a força resultante no elemento é
Passo 4
Pela segunda lei de Newton temos
, em que a aceleração
é a derivada material da velocidade
:
Substituindo
, obtemos
Cancelando
, chega-se a
Passo 5
Lembrando que a derivada material em escoamento unidimensional é
substituímos na equação anterior.
Passo 6
Substituindo e dividindo por
, obtemos a forma final da equação de movimento (Euler) para escoamento unidimensional, compressível, não viscoso e não permanente: