Obtenha as equações para um escoamento unidimensional, permanente, viscoso e compressível na direção
, a partir das equações de Navier-Stokes.
Passo 1
O enunciado pede para derivar, a partir das equações de Navier–Stokes no caso compressível, as equações unidimensionais em regime permanente, levando em conta viscosidade e variação de densidade ao longo de
. Vamos precisar das equações de conservação de massa, de momento linear e de energia, aplicadas ao caso 1D, estacionário, com velocidade
, densidade
, pressão
, tensão viscosa
e fluxo de calor
.
Passo 2
Partimos da equação geral da continuidade em forma conservativa:
Em regime permanente (
) e considerando escoamento unidimensional (
), isso se reduz a
Essa é a equação de conservação de massa para escoamento 1D permanente.
Passo 3
A equação geral de momento linear em componente
é
Em regime permanente e 1D só resta
Para um fluido newtoniano compressível temos a tensão normal
onde
é a viscosidade dinâmica e
a segunda viscosidade de Stokes. Adotando a hipótese de Stokes (
) obtém-se
Logo, a equação de momento fica
Passo 4
A equação geral da energia total
é
com fluxo de calor de Fourier
. Em 1D e permanente isso vira a forma conservativa
onde
.
Resposta
Conservação de massa:
Conservação de momento:
Conservação de energia (forma conservativa):
com
e
.