Obtenha as equações para um escoamento unidimensional, permanente, viscoso e compressível na direção x, a partir das equações de Navier-Stokes.

Passo 1

O enunciado pede para derivar, a partir das equações de Navier–Stokes no caso compressível, as equações unidimensionais em regime permanente, levando em conta viscosidade e variação de densidade ao longo de x. Vamos precisar das equações de conservação de massa, de momento linear e de energia, aplicadas ao caso 1D, estacionário, com velocidade u=u(x), densidade rho=rho(x), pressão p=p(x), tensão viscosa tauxx e fluxo de calor qx.

Passo 2

Partimos da equação geral da continuidade em forma conservativa:
partial rhopartial t + nabla!cdot(rho u) = 0
Em regime permanente ( partial/partial t=0) e considerando escoamento unidimensional ( u=(u(x),0,0)), isso se reduz a
ddxl(rho,ur)=0
Essa é a equação de conservação de massa para escoamento 1D permanente.

Passo 3

A equação geral de momento linear em componente x é
rhol(partial upartial t + ucdotnabla ur) = -partial ppartial x + partial tauxxpartial x
Em regime permanente e 1D só resta
rho,u,dudx = -dpdx + dtauxxdx
Para um fluido newtoniano compressível temos a tensão normal
tauxx = (2mu + lambda),dudx,
onde mu é a viscosidade dinâmica e lambda a segunda viscosidade de Stokes. Adotando a hipótese de Stokes ( lambda=-tfrac23mu) obtém-se
tauxx = 43,mu,dudx
Logo, a equação de momento fica
rho,u,dudx = -dpdx + ddx!l(tfrac43,mu,dudxr)

Passo 4

A equação geral da energia total E=e+tfracu^22 é
partial (rho E)partial t + nabla!cdotl(rhou,E + p,ur) = nabla!cdot(taucdotu) - nabla!cdotq,
com fluxo de calor de Fourier q=-knabla T. Em 1D e permanente isso vira a forma conservativa
ddxl[rho,ul(E+prhor) - tauxx,u + qxr]=0,
onde qx=-k,tfracdTdx.

Resposta

Conservação de massa:
ddxl(rho,ur)=0
Conservação de momento:
rho,u,dudx = -dpdx + ddx!l(tfrac43,mu,dudxr)
Conservação de energia (forma conservativa):
ddxl[rho,ul(E+prhor) - 43,mu,u,dudx - k,dTdxr]=0,
com E=e+tfracu^22 e qx=-k,tfracdTdx.

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