Derive as equações de \alpha e \beta abaixo a partir das equações \gamma=\alpha+j \beta, \quad \gamma^{2}= j \omega \mu(\sigma+j \omega \epsilon) \begin{aligned} & \alpha=\omega \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{2}\left[\sqrt{1+\left[\frac{\sigma}{\omega \varepsilon}\right]^{2}}-1\right]} \\\ & \beta=\omega \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{2}\left[\sqrt{1+\left[\frac{\sigma}{\omega \varepsilon}\right]^{2}}+1\right]} \end{aligned} Passo 1O problema trata da constante de propagação num meio condutor, dada por \gamma=\alpha+j\beta, e satisfaz \gamma^{2}=j\omega\mu\bigl(\sigma+j\omega\varepsilon\bigr). Queremos isolar as partes real \alpha e imaginária \beta. Passo 2Escrevendo \gamma=\alpha+j\beta e elevando ao quadrado, temos (\alpha+j\beta)^{2}=\alpha^{2}-\beta^{2}+j\,2\alpha\beta. Por outro lado, expandindo o lado direito, \gamma^{2} = j\omega\mu\,\sigma + j^{2}\,\omega\mu\,\omega\varepsilon = -\omega^{2}\mu\varepsilon + j\,\omega\mu\,\sigma. Igualando parte real e parte imaginária: \begin{cases} \alpha^{2}-\beta^{2}=-\omega^{2}\mu\varepsilon,\\\\ 2\,\alpha\beta=\omega\mu\,\sigma. \end{cases} Passo 3Para achar \alpha^{2}+\beta^{2}, usamos (\alpha^{2}+\beta^{2})^{2} =(\alpha^{2}-\beta^{2})^{2}+(2\alpha\beta)^{2} =(\omega^{2}\mu\varepsilon)^{2}+(\omega\mu\,\sigma)^{2} =\omega^{2}\mu^{2}\bigl(\sigma^{2}+\omega^{2}\varepsilon^{2}\bigr), logo \alpha^{2}+\beta^{2} =\omega\mu\sqrt{\sigma^{2}+\omega^{2}\varepsilon^{2}}. Agora \alpha^{2} =\frac{(\alpha^{2}+\beta^{2})+(\alpha^{2}-\beta^{2})}{2} =\frac{\omega\mu\sqrt{\sigma^{2}+\omega^{2}\varepsilon^{2}} -\omega^{2}\mu\varepsilon}{2}, \beta^{2} =\frac{(\alpha^{2}+\beta^{2})-(\alpha^{2}-\beta^{2})}{2} =\frac{\omega\mu\sqrt{\sigma^{2}+\omega^{2}\varepsilon^{2}} +\omega^{2}\mu\varepsilon}{2}. Passo 4Fazendo a raiz e escrevendo \sqrt{\sigma^{2}+\omega^{2}\varepsilon^{2}} =\omega\varepsilon\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\bigr)^{2}}, obtém-se \alpha =\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2} \Bigl(\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\bigr)^{2}}-1\Bigr)}, \quad \beta =\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2} \Bigl(\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\bigr)^{2}}+1\Bigr)}. Resposta \alpha=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2} \Bigl[\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\bigr)^{2}}-1\Bigr]}, \quad \beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2} \Bigl[\sqrt{1+\bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\bigr)^{2}}+1\Bigr]}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(Prova 2025.1) Uma onda plana com polarização circular e frequência angular \omega propaga ao longo do eixo z, com |\vec{E}|=1 V / m, em um meio com índice de refração n=a+b \mathrm{j} e impedância Z=|Z| e^{j \theta z}. Neste contexto, determine: a. O vetor campo elétrico na notação fasorial ( 0,3 pontos) e temporal ( 0,3 pontos) sabendo que em \mathrm{z}=0 e \mathrm{t}=0, o campo elétrico só tem componente Ex. b. O vetor campo magnético na notação fasorial ( 0,3 pontos) e temporal ( 0,3 pontos). c. O vetor de Poynting médio. ( 0,8 pontos) Obs.: Podem escolher entre circular horário ou anti-horário. Mostre que uma onda plana uniforme com polarização arbitrária pode ser criada a partir da superposição de duas ondas, uma com polarização circular direita e outra com polarização circular esquerda. A partir da equação \mathbf{E}(z, t)=E_{0} e^{-\alpha z} \cos (\omega t-\beta z) \hat{x} e em conjunto com as equações de Maxwell, derive que a. \quad \eta=\frac{j \omega \mu}{\gamma}. b. A partir de b. encontre que H_{0}=\frac{E_{0}}{\eta} e que \eta=\sqrt{\frac{j \omega \mu}{\sigma+j \omega \epsilon}} Uma onda plana se propagando no espaço livre pode ser caracterizada por seu campo elétrico complexo \mathbf{E}. Se \mathbf{E}=\hat{x} e^{-j \hat{y}-j 2 \hat{z}} a. Esta é uma onda plana uniforme? b. Qual é sua frequência (\mathrm{Hz}) ? c. Avalie a potência média no tempo.